確率｜条件つき確率について

11/23/2021数学Ａ

条件つき確率を扱った問題を解いてみよう

次の問題を考えてみましょう。

問１の解答・解説

問１

男子 $6$ 人、女子 $4$ 人のうちバス通学者はそれぞれ $4$ 人、 $2$ 人である。 $1$ 人を選ぶとき、次の確率を求めよ。

$(i)$ バス通学者である確率

$(ii)$ 男子であると分かったとき、バス通学者である確率

このような問題では、人数の内訳を一覧表にまとめると確率を求めやすくなります。

問１の解答例 1⃣

人数の内訳を表にまとめると以下のようになる。

$\begin{align*} \begin{array}{c|c|c|c} & {\scriptsize \text{男子}} & {\scriptsize \text{女子}} & {\scriptsize \text{合計}} \\ \hline {\scriptsize \text{バス通学者}} & 4 & 2 & 6 \\ \hline {\scriptsize \text{バス以外}} & 2 & 2 & 4 \\ \hline {\scriptsize \text{合計}} & 6 & 4 & 10 \end{array} \end{align*}$

男女１０人を区別して１人を選んだ結果のそれぞれが根元事象です。そして、このときの選び方の総数が、全事象が起こる場合の数で₁₀Ｃ₁（＝１０）通りです。

また、男女合わせて１０人のうち、バス通学者は男女合わせて６人です。

選んだ１人がバス通学者であるのは、バス通学者６人から１人を選ぶときです。このときの選び方の総数が、選んだ１人がバス通学者である事象が起こる場合の数で₆Ｃ₁（＝６）通りです。

以上をもとに、選んだ１人がバス通学者である確率は以下のようになります。

問１の解答例 2⃣

人数の内訳を表にまとめると以下のようになる。

$10$ 人から $1$ 人を選ぶ事象が起こる場合の数は、 $10$ 通り。

また、選んだ $1$ 人がバス通学者である事象が起こる場合の数は、バス通学者 $6$ 人から $1$ 人を選べばよいので $6$ 通り。

これより、選んだ $1$ 人がバス通学者である確率は

$\begin{align*} \quad \frac{6}{10}=\frac{3}{5} \end{align*}$

問１(ii)でも表を利用します。

人数の内訳

「選んだ１人が男子と分かったとき」とあるので、これが条件になります。つまり「男子６人であるという条件のもとで」ということです。

選んだ１人が男子である事象Ａを全事象と考えて、その中から無作為に選んだとき、それがバス通学者である事象Ｂに属する確率を求めます。

男子６人のうちバス通学者は４人です。このことから、ｎ(Ａ)＝６，ｎ(Ａ⋂Ｂ)＝４です。

なお、バス通学者の４人は男子であり、事象Ｂの要素は事象Ａに属する要素なので、Ａ⋂Ｂ＝Ｂが成り立ちます。

これは２つの事象に包含関係がある場合に成り立ち、良く出題されます。包含関係にあることは図解すれば分かるので、ベン図を利用しながら考える習慣を付けましょう。

以上をもとに、選んだ１人が男子と分かったとき、バス通学者である確率は以下のようになります。

問１の解答例 3⃣

男子であることが分かっているので、男子 $6$ 人から $1$ 人を選ぶ事象が起こる場合の数は、 $6$ 通り。

また、バス通学者である事象が起こる場合の数は、男子のバス通学者 $4$ 人から $1$ 人を選べばよいので $4$ 通り。

これより、男子であると分かったとき、バス通学者である確率は

$\begin{align*} \frac{n \left( A \cap B \right)}{n \left( A \right)} &= \frac{n \left( B \right)}{n \left( A \right)} \\[ 10pt ] &= \frac{4}{6} \\[ 10pt ] &= \frac{2}{3} \end{align*}$

問１(ii)では、全事象が男子である事象に変わっているので、問１(i)の分母とは異なっていることが分かります。

問１のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。

問１のように、事象がもつ要素の個数が分かれば場合の数を考えやすいので、まずは要素の個数を数え上げることを考えましょう。

確率の基本は、要素の個数（＝場合の数）を数え上げること。

問２の解答・解説

問２

赤玉 $3$ 個と白玉 $4$ 個が入っている袋から球を $1$ 個取り出し、それを元に戻さずにもう $1$ 個取り出す。このとき、 $2$ 個とも白玉である確率を求めよ。

１回目に取り出した玉が白玉である事象をＡ、２回目に取り出した玉が白玉である事象をＢとします。

２個とも白玉である事象は、２つの事象Ａ，Ｂがともに起こる事象であるので、積事象Ａ⋂Ｂです。このとき、２個とも白玉である確率はＰ(Ａ⋂Ｂ)となります。これが求めたい確率です。

ところで、最初に取り出した玉を元に戻さないので、２回目の試行の結果は、１回目の試行の結果に影響されてしまいます。ですから、２つの試行は独立な試行ではありません。

このようなとき、条件つき確率を利用すると、積事象Ａ⋂Ｂが起こる確率Ｐ(Ａ⋂Ｂ)を求めることができます。

１回目の試行において、合計７個の玉を区別して１個だけ取り出します。その取り出し方の総数は₇Ｃ₁（＝７）通りです。これは１回目の試行での根元事象の総数であり、全事象が起こる場合の数です。

また、１回目の試行において、取り出された玉が白玉である事象Ａが起こる場合の数は、白玉４個から１個を取り出すときを考えれば良いので、その総数は₄Ｃ₁（＝４）通りです。

このことから、事象Ａが起こる確率Ｐ(Ａ)は以下のようになります。

問２の解答例 1⃣

$1$ 回目、 $2$ 回目に取り出した玉が白玉である事象をそれぞれ $A \ , \ B$ とする。このとき $2$ 個とも白玉である事象は $A \cap B$ となる。

$1$ 回目の試行で取り出された玉が白玉である確率 $P(A)$ は

$\begin{align*} \quad P \left( A \right) = \frac{4}{7} \end{align*}$

次に２回目の試行においてですが、合計が６個になっているので注意しましょう。

２回目の試行において、合計６個の玉を区別して１個を取り出すとき、その取り出し方の総数は₆Ｃ₁（＝６）通りです。これは２回目の試行での根元事象の総数であり、全事象が起こる場合の数です。

また、２回目の試行において、取り出された玉が白玉である事象Ｂが起こる場合の数は、白玉３個から１個を取り出すときを考えれば良いので、その総数は₃Ｃ₁（＝３）通りです。１回目の試行で白玉が取り出されていることに注意しましょう。

ここで注意したいのは、２回目の試行は１回目の試行で白玉が取り出されたという条件のもとで考えています。このことから、条件つき確率を考えなくてはなりません。

問２の解答例 2⃣

$1$ 回目、 $2$ 回目に取り出した玉が白玉である事象をそれぞれ $A \ , \ B$ とする。このとき $2$ 個とも白玉である事象は $A \cap B$ となる。

$1$ 回目の試行で取り出された玉が白玉である確率 $P(A)$ は

$\begin{align*} \quad P \left( A \right) = \frac{4}{7} \end{align*}$

$2$ 回目の試行で取り出された玉が白玉である確率 $P_{A}(B)$ は

$\begin{align*} \quad P_{A} \left( B \right) = \frac{3}{6} \end{align*}$

２つの試行は独立ではありませんが、条件つき確率を使った公式に乗法定理があります。以上をもとに２個とも白玉である確率は以下のようになります。

問２の解答例 3⃣

$1$ 回目、 $2$ 回目に取り出した玉が白玉である事象をそれぞれ $A \ , \ B$ とする。このとき $2$ 個とも白玉である事象は $A \cap B$ となる。

$1$ 回目の試行で取り出された玉が白玉である確率 $P(A)$ は

$\begin{align*} \quad P \left( A \right) = \frac{4}{7} \end{align*}$

$2$ 回目の試行で取り出された玉が白玉である確率 $P_{A}(B)$ は

$\begin{align*} \quad P_{A} \left( B \right) = \frac{3}{6} \end{align*}$

したがって、 $2$ 個とも白玉である確率 $P(A \cap B)$ は

$\begin{align*} \quad P \left(A \cap B \right) &= P \left( A \right) \times P_{A} \left( B \right) \\[ 10pt ] &= \frac{4}{7} \times \frac{3}{6} \\[ 10pt ] &= \frac{2}{7} \end{align*}$

問２のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。

互いに独立でない２つの試行において、２回目の試行は１回目の試行の結果に影響を受ける。２回目の試行の事象が起こる確率は条件つき確率。

事象Ｂが起こる確率を求めてみよう

意外と間違えやすい確率は、２回目の試行で取り出された玉が白玉である事象Ｂが起こる確率Ｐ(Ｂ)です。これについて考えてみましょう。

事象Ｂは、２回目の試行で取り出された玉の色に言及しているだけです。ですから、１回目の結果が白玉とは限りません。１回目の試行では、赤玉または白玉が取り出された可能性が考えられます。

２回目の試行で取り出された玉が白玉である事象Ｂ

１回目で赤玉、２回目で白玉が取り出される。
１回目で白玉、２回目で白玉が取り出される。

事象Ｂは、2つの事象を含むことが分かります。この２つの事象は同時に起こらない結果なので、互いに排反です。

１回目の試行で赤玉が取り出された場合、１回目の試行で赤玉が取り出された条件のもとで、２回目の試行で白玉が取り出されます。

このことから、１回目で赤玉、２日目で白玉が取り出される確率は以下のようになります。

１回目の試行で赤玉が取り出された場合の確率

$\begin{align*} \quad \frac{{}_3 \mathrm{ C }_1}{{}_7 \mathrm{ C }_1} \times \frac{{}_4 \mathrm{ C }_1}{{}_6 \mathrm{ C }_1} = \frac{3}{7} \times \frac{4}{6} \end{align*}$

１回目の試行で白玉が取り出された場合、１回目の試行で白玉が取り出された条件のもとで、２回目の試行で白玉が取り出されます。これは問２の結果を利用できます。

２つの事象は互いに排反だったので、事象Ｂが起こる確率Ｐ(Ｂ)は以下のようになります。

事象Bが起こる確率Ｐ(Ｂ)

$\begin{align*} \quad P \left( B \right) &= \frac{3}{7} \times \frac{4}{6} + \frac{4}{7} \times \frac{3}{6} \\[ 10pt ] &= \frac{3}{7} \times \frac{4}{6} \times 2 \\[ 10pt ] &= \frac{4}{7} \\[ 10pt ] &\neq P \left(A \cap B \right) \end{align*}$

事象Ｂが起こる確率Ｐ(Ｂ)は、２個とも白玉である確率Ｐ(Ａ⋂Ｂ)よりも大きな値になっています。

確率からも分かるように、事象Ｂは、積事象Ａ⋂Ｂの要素（結果）以外にも要素（結果）をもつことが分かります。