図形と方程式｜座標を利用した証明について

$$\begin{align*} &(1) \quad \text{$\triangle {ABC}$ の辺 $BC$ の中点を $M$ とするとき、} \\[ 5pt ] &\quad \quad AB^{\scriptsize{2}}+AC^{\scriptsize{2}}=2 \left( AM^{\scriptsize{2}}+BM^{\scriptsize{2}} \right) \\[ 7pt ] &\text{が成り立つことを証明せよ。} \\[ 10pt ] &(2) \quad \text{$\triangle {ABC}$ において、辺 $BC$ を $3:2$ に内分する} \\[ 5pt ] &\text{点を $D$ とする。このとき、} \\[ 5pt ] &\quad \quad 3 \left( 2AB^{\scriptsize{2}}+3AC^{\scriptsize{2}} \right)=5 \left( 3AD^{\scriptsize{2}}+2BD^{\scriptsize{2}} \right) \\[ 7pt ] &\text{が成り立つことを証明せよ。} \end{align*}$$

$$\begin{align*} &\text{$\triangle {ABC}$ の辺 $BC$ の中点を $M$ とするとき、} \\[ 7pt ] &\quad AB^{\scriptsize{2}}+AC^{\scriptsize{2}}=2 \left( AM^{\scriptsize{2}}+BM^{\scriptsize{2}} \right) \\[ 7pt ] &\text{が成り立つことを証明せよ。} \end{align*}$$

$$\begin{align*} &\text{直線 $BC$ を $x$ 軸に、辺 $BC$ の垂直二等分線を} \\[ 5pt ] &\text{$y$ 軸にとると、中点 $M$ は原点 $O$ になる。} \end{align*}$$

$$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\text{$3$ 点 $A \ , \ B \ , \ C$ の座標を} \\[ 5pt ] &\quad A \ (a \ , \ b) \ , \ B \ (-c \ , \ 0) \ , \ C \ (c \ , \ 0) \\[ 7pt ] &\text{と表すことができる。} \end{align*}$$

$$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad A \ (a \ , \ b) \ , \ B \ (-c \ , \ 0) \ , \ C \ (c \ , \ 0) \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\text{このとき} \\[ 5pt ] &\quad AB^{\scriptsize{2}}+AC^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ] &\quad =\left\{ \left(-c-a \right)^{\scriptsize{2}}+\left(0-b \right)^{\scriptsize{2}} \right\}+\left\{ \left(c-a \right)^{\scriptsize{2}}+\left(0-b \right)^{\scriptsize{2}} \right\} \\[ 7pt ] &\quad =\left\{ \left(c+a \right)^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}} \right\}+\left\{ \left(c-a \right)^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}} \right\} \\[ 7pt ] &\quad =\left(c^{\scriptsize{2}}+2ca+a^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}} \right)+\left(c^{\scriptsize{2}}-2ca+a^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}} \right) \\[ 7pt ] &\quad =2 \left(a^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}}+c^{\scriptsize{2}} \right) \quad \cdots \text{①} \end{align*}$$

$$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad A \ (a \ , \ b) \ , \ B \ (-c \ , \ 0) \ , \ C \ (c \ , \ 0) \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad =2 \left(a^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}}+c^{\scriptsize{2}} \right) \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\text{また} \\[ 5pt ] &\quad AM^{\scriptsize{2}}+BM^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ] &\quad =\left\{ \left(0-a \right)^{\scriptsize{2}}+\left(0-b \right)^{\scriptsize{2}} \right\}+\left\{ 0-\left(-c \right) \right\}^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ] &\quad =\left(a^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}} \right)+c^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ] &\quad =a^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}}+c^{\scriptsize{2}} \quad \cdots \text{②} \end{align*}$$

$$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad =2 \left(a^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}}+c^{\scriptsize{2}} \right) \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad =a^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}}+c^{\scriptsize{2}} \quad \cdots \text{②} \\[ 7pt ] &\text{①，②より} \\[ 5pt ] &\quad AB^{\scriptsize{2}}+AC^{\scriptsize{2}}=2 \left( AM^{\scriptsize{2}}+BM^{\scriptsize{2}} \right) \end{align*}$$

$$\begin{align*} &\text{$\triangle {ABC}$ において、辺 $BC$ を $3:2$ に内分する} \\[ 5pt ] &\text{点を $D$ とする。このとき、} \\[ 7pt ] &\quad 3 \left( 2AB^{\scriptsize{2}}+3AC^{\scriptsize{2}} \right)=5 \left( 3AD^{\scriptsize{2}}+2BD^{\scriptsize{2}} \right) \\[ 7pt ] &\text{が成り立つことを証明せよ。} \end{align*}$$

$$\begin{align*} &\text{直線 $BC$ を $x$ 軸に、点 $D$ を通り、直線 $BC$ に垂直な} \\[ 5pt ] &\text{直線を $y$ 軸にとると、点 $D$ は原点 $O$ になる。} \end{align*}$$

$$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\text{よって、$3$ 点 $A \ , \ B \ , \ C$ の座標を} \\[ 5pt ] &\quad A \ (a \ , \ b) \ , \ B \ (-3c \ , \ 0) \ , \ C \ (2c \ , \ 0) \\[ 7pt ] &\text{と表すことができる。} \end{align*}$$

$$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad A \ (a \ , \ b) \ , \ B \ (-3c \ , \ 0) \ , \ C \ (2c \ , \ 0) \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\text{このとき} \\[ 5pt ] &\quad 2AB^{\scriptsize{2}}+3AC^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ] &\quad =2 \left\{ \left(-3c-a \right)^{\scriptsize{2}}+\left(0-b \right)^{\scriptsize{2}} \right\}+3 \left\{ \left(2c-a \right)^{\scriptsize{2}}+\left(0-b \right)^{\scriptsize{2}} \right\} \\[ 7pt ] &\quad =2 \left\{ \left(3c+a \right)^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}} \right\}+3 \left\{ \left(2c-a \right)^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}} \right\} \\[ 7pt ] &\quad =2 \left(9c^{\scriptsize{2}}+6ca+a^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}} \right)+3 \left(4c^{\scriptsize{2}}-4ca+a^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}} \right) \\[ 7pt ] &\quad =5a^{\scriptsize{2}}+5b^{\scriptsize{2}}+30c^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ] &\quad =5 \left(a^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}}+6c^{\scriptsize{2}} \right) \quad \cdots \text{①} \end{align*}$$

$$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad A \ (a \ , \ b) \ , \ B \ (-3c \ , \ 0) \ , \ C \ (2c \ , \ 0) \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad =5 \left(a^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}}+6c^{\scriptsize{2}} \right) \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\text{また} \\[ 5pt ] &\quad 3AD^{\scriptsize{2}}+2BD^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ] &\quad =3 \left\{ \left(0-a \right)^{\scriptsize{2}}+\left(0-b \right)^{\scriptsize{2}} \right\}+2 \left\{ 0-\left(-3c \right) \right\}^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ] &\quad =3 \left(a^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}} \right)+2 \cdot 9c^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ] &\quad =3\left(a^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}}+6c^{\scriptsize{2}} \right) \quad \cdots \text{②} \end{align*}$$

$$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad 2AB^{\scriptsize{2}}+3AC^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad =5 \left(a^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}}+6c^{\scriptsize{2}} \right) \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad 3AD^{\scriptsize{2}}+2BD^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad =3\left(a^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}}+6c^{\scriptsize{2}} \right) \quad \cdots \text{②} \\[ 7pt ] &\text{①より} \\[ 5pt ] &\quad a^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}}+6c^{\scriptsize{2}}= \frac{1}{5} \left(2AB^{\scriptsize{2}}+3AC^{\scriptsize{2}} \right) \\[ 7pt ] &\text{②より} \\[ 5pt ] &\quad a^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}}+6c^{\scriptsize{2}}= \frac{1}{3} \left(3AD^{\scriptsize{2}}+2BD^{\scriptsize{2}} \right) \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad \frac{1}{5} \left(2AB^{\scriptsize{2}}+3AC^{\scriptsize{2}} \right)=\frac{1}{3} \left(3AD^{\scriptsize{2}}+2BD^{\scriptsize{2}} \right) \\[ 7pt ] &\text{したがって} \\[ 5pt ] &\quad 3 \left( 2AB^{\scriptsize{2}}+3AC^{\scriptsize{2}} \right)=5 \left( 3AD^{\scriptsize{2}}+2BD^{\scriptsize{2}} \right) \end{align*}$$