整数の性質|約数と倍数について

11/28/2018数学A整数,倍数,約数,素因数分解,素数,整数の性質

約数や倍数を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

問(1)
4桁の整数25□4について、以下の数になるように、□に当てはまる数を求めよ。
(i) 3の倍数
(ii) 12の倍数

問(2)
360を素因数分解せよ。

問(1)の解答・解説

問(1)
4桁の整数25□4について、以下の数になるように、□に当てはまる数を求めよ。
(i) 3の倍数
(ii) 12の倍数

問(1)は倍数の判定法を扱った問題です。(i)では、3の倍数になる条件から当てはまる数を求めます。4桁の整数が3の倍数になるには、各位の和が3の倍数になることが条件です。

問(1)(i)の解答例
\begin{align*}
&\text{求める数を $x$ とおく。} \\[ 5pt ]
&\text{各位の数の和は} \\[ 5pt ]
&\quad 2+5+x+4 = x+11 \\[ 5pt ]
&\text{より、これが3の倍数となるのは $x$ が} \\[ 5pt ]
&\quad 1 \ , \ 4 \ , \ 7 \\[ 5pt ]
&\text{のいずれかになるときである。} \\[ 5pt ]
&\text{したがって、□に当てはまる数は} \ 1 \ , \ 4 \ , \ 7
\end{align*}

(ii)では、12の倍数になる条件から当てはまる数を求めます。12の倍数になるためには、3の倍数、かつ4の倍数であることが条件です。(i)の結果を利用します。

問(1)(ii)の解答例
\begin{align*}
&\text{(i)で求めた数のうち、下2桁が4の倍数になるのは、} \\[ 5pt ]
&\quad x=4 \\[ 5pt ]
&\text{のときである。} \\[ 5pt ]
&\text{したがって、□に当てはまる数は} \ 4
\end{align*}

基本的な倍数の判定法を覚えておかないと、(ii)の問題を解くことが難しくなります。

問(2)の解答・解説

問(2)
360を素因数分解せよ。

最初から素数で分解するのが模範的な解き方ですが、まずは因数でざっくりと分解していきましょう。そのとき、$4 \ , \ 9 \ , \ 16$ などの平方数や、2の累乗や3の累乗などの自然数の累乗の値で分解するのがコツです。

問(2)の解答例
\begin{align*}
360 &= 36 \times 10 \\[ 5pt ]
&= 4 \times 9 \times 2 \times 5 \\[ 5pt ]
&= 2^{\scriptsize{2}} \times 3^{\scriptsize{2}} \times 2 \times 5 \\[ 5pt ]
&= 2^{\scriptsize{3}} \times 3^{\scriptsize{2}} \times 5
\end{align*}

小さな数では因数分解するメリットはほとんどありません。しかし、大きな数になると因数分解の方が格段に速くなります。

大きな数を素因数で分解する場合、もとの数を細かく切っていくやり方なので、残る数がなかなか小さくなりません。ですから分解する回数が多くなります。360の素因数分解であれば、2で3回、3で2回の合計5回の分解を行う必要があります。

これに対して、平方数や自然数の累乗の値で分解する場合、もとの数を大雑把に切っていくやり方なので、残る数が小さくなります。累乗の形を作りやすくなるので、分解の回数が結果的に少なくなります。360の素因数分解であれば、$4 \times 9 \times 2 \times 5$ と分解した後、早い人なら次で素因数分解を終えることができるでしょう。

ここで大切なことは、素数で分解することではなく、最終的に素因数だけで分解できていれば良いということです。ですから、途中は因数分解でも構わないのです。

素因数分解では、平方数や自然数の累乗の値で大雑把に分解しよう。平方根でも因数分解の方がラク。
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整数の性質を扱った問題は、難関大なら必修でしたが、センター試験でも扱われるようになりました。

難しく感じている人もいるかもしれませんが、複雑な公式や図形を扱うことがないので、その気になれば得点源にできる単元です。単元別の問題集で集中的に取り組んでマスターしてしまいましょう。

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オススメその1

『[affi id=53]』は、教科書レベルから始めて大学入試の実戦レベルまで、最大効率で習得できる問題集です。新課程の整数問題に対応しています。問題数が47題なので、短期間でこなしたいなら候補に入れて良いでしょう。

【教科書編】
問題数16題。新課程版教科書「整数の性質」の項目に沿って配置。
教科書編項目:約数と倍数/約数の個数と総和/最大公約数と最小公倍数/剰余による分類/ユークリッドの互除法とディオファントス方程式/p進法/循環小数/合同式/部屋割り論法

【実戦問題のレベル別編】
初級編20題、中級編5題、上級編6題。
難関大学の整数問題に十分対処できるようにすることを目標として作成。
できる限り数学1・数学Aの範囲にとどめるように問題を選択。
ただし、二項定理・高次の多項式の因数分解・数列の問題あり。

数学1・Aの範囲内にとどめるように配慮されているおかげで、数学1・Aの学習直後から取り組めます。学習したてなら苦手意識がつく前なので、スムーズに取り組めるでしょう。

[affi id=54]

オススメその2

『[affi id=55]』は、頻出かつ重要な問題について、例題だけでなく、類題もあるので演習量をこなせる問題集です。解答例や解説は、高校までに学んだ知識だけで理解できるように配慮されているので、数学が苦手な人にも取り組みやすくなっています。

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[affi id=56]

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第2部:整数、場合の数それぞれの重要手法のイメージ化に重点をおいて詳しく解説。
第3部:大学受験問題の系統だった解説。
第4部:興味深い問題・発展演習。

少し難易度の高い教材ですが、難関大を目指す理系志望者なら候補に入れて良いでしょう。

[affi id=60]

さいごにもう一度まとめ

  • 約数と倍数の関係を覚えよう。
  • 倍数の判定法は約数の判定法でもある。
  • 1は素数でないことに注意しよう。
  • 素因数分解ではまず因数分解してみよう。