場合の数｜グループ分けについて

11/23/2021数学Ａ

グループ分けを扱った問題を解いてみよう

次の問題を考えてみましょう。

問(i)の解答・解説

問(i)

$6$ 冊の異なる本を、次のように分けるとき、その分け方はそれぞれ何通りあるか。

$\quad 1$ 冊、$2$ 冊、$3$ 冊に分ける。

グループ分けをするときに確認することが２つありました。

グループ分けの問題では必ず確認しよう

いくつかのグループに分ける人や物が区別できるかどうか
分けてできるグループが区別できるかどうか

本は６冊とも異なるので区別できます。また、３つのグループも冊数が異なるので区別できます。分け方は以下のようになります。

６冊の異なる本を１冊、２冊、３冊に分けるときの分け方

６冊から１冊を選ぶので、₆Ｃ₁通り
１冊の選び方のそれぞれについて、残った５冊から２冊を選ぶので、₅Ｃ₂通りずつ
２冊の選び方のそれぞれについて、残った３冊を選ぶので、₃Ｃ₃通りずつ

積の法則を使って計算します。

問(i)の解答例

$6$ 冊から $1$ 冊を選ぶ場合の数は ${}_6 \mathrm{ C }_1$ 通り。

そのそれぞれについて、残り $5$ 冊から $2$ 冊を選ぶ場合の数は ${}_5 \mathrm{ C }_2$ 通りずつ。

そのそれぞれについて、残り $3$ 冊から $3$ 冊を選ぶ場合の数は ${}_3 \mathrm{ C }_3$ 通りずつ。

求める分け方の総数は、積の法則より

\begin{align*} &{}_6 \mathrm{ C }_1 \times {}_5 \mathrm{ C }_2 \times {}_3 \mathrm{ C }_3 \\[ 7pt ] = \ &\frac{{}_6 \mathrm{ P }_1}{1!} \times \frac{{}_5 \mathrm{ P }_2}{2!} \times 1 \\[ 7pt ] = \ &6 \times \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} \\[ 7pt ] = \ &60 \ \text{（通り）} \end{align*}

問(i)のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。

１冊、２冊、３冊の順に本を選びましたが、グループを区別できるので、どの冊数から選んでも計算結果は変わりません。ただ、一般に、分ける数が少ない方から処理していくと、計算がいくらか楽になります。

３冊、２冊、１冊の順のときと比べてみると、いくらか実感できると思います。

問(i)の別解例

\begin{align*} &{}_6 \mathrm{ C }_3 \times {}_3 \mathrm{ C }_2 \times {}_1 \mathrm{ C }_1 \\[ 7pt ] = \ &\frac{{}_6 \mathrm{ P }_3}{3!} \times \frac{{}_3 \mathrm{ P }_2}{2!} \times 1 \\[ 7pt ] = \ &\frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} \times \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 1} \\[ 7pt ] = \ &60 \ \text{（通り）} \end{align*}

小さなことですが、入試のようなシビアな時間制限のある状況では、計算のコツ１つが自分の身を助けてくれます。

問(ii)の解答・解説

問(ii)

$6$ 冊の異なる本を、次のように分けるとき、その分け方はそれぞれ何通りあるか。

$\quad 2$ 冊ずつ $3$ 人の子供 $A \ , \ B \ , \ C$ に分ける。

本は６冊とも異なるので区別できます。また、本を渡す子供が異なる（名称Ａ，Ｂ，Ｃがついている）ので、３つのグループを区別できます。分け方は以下のようになります。

６冊の異なる本を２冊ずつ３人の子供Ａ，Ｂ，Ｃに分けるときの分け方

６冊から２冊を選ぶので、₆Ｃ₂通り
２冊の選び方のそれぞれについて、残った４冊から２冊を選ぶので、₄Ｃ₂通りずつ
２冊の選び方のそれぞれについて、残った２冊を選ぶので、₂Ｃ₂通りずつ

問(i)と同じように、積の法則を使って計算します。

問(ii)の解答例

$6$ 冊から $2$ 冊を選ぶ場合の数は ${}_6 \mathrm{ C }_2$ 通り。

そのそれぞれについて、残り $4$ 冊から $2$ 冊を選ぶ場合の数は ${}_4 \mathrm{ C }_2$ 通りずつ。

そのそれぞれについて、残り $2$ 冊から $2$ 冊を選ぶ場合の数は ${}_2 \mathrm{ C }_2$ 通りずつ。

求める分け方の総数は、積の法則より

\begin{align*} &{}_6 \mathrm{ C }_2 \times {}_4 \mathrm{ C }_2 \times {}_2 \mathrm{ C }_2 \\[ 7pt ] = \ &\frac{{}_6 \mathrm{ P }_2}{2!} \times \frac{{}_4 \mathrm{ P }_2}{2!} \times 1 \\[ 7pt ] = \ &\frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} \times \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} \\[ 7pt ] = \ &90 \ \text{（通り）} \end{align*}

問(ii)のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。

同じ冊数に分けますが、子供が区別できるのでグループも区別できることに注意しましょう。この点に気付けば特に問題ないでしょう。

問(iii)の解答・解説

問(iii)

$6$ 冊の異なる本を、次のように分けるとき、その分け方はそれぞれ何通りあるか。

$\quad 2$ 冊ずつの $3$ 組に分ける。

本は６冊とも異なるので区別できます。しかし、３つのグループには名称がなく、冊数が同じで区別できません。問(iii)が問(ii)と異なるのは、３つのグループを区別できないところです。

分け方は以下のようになりますが、重複ぶんを含んでいることに注意しましょう。

６冊の異なる本を２冊ずつ３組に分けるときの分け方

６冊から２冊を選ぶので、₆Ｃ₂通り
２冊の選び方のそれぞれについて、残った４冊から２冊を選ぶので、₄Ｃ₂通りずつ
２冊の選び方のそれぞれについて、残った２冊を選ぶので、₂Ｃ₂通りずつ
ただし、３組のグループに区別がないので、１つのグループ分けのそれぞれについて、重複ぶん３！通りずつが含まれる。

積の法則を使って計算します。グループの区別がないので、(ii)の結果を利用して重複ぶんを忘れずに除きます。

問(iii)の解答例

$6$ 冊から $2$ 冊を選ぶ場合の数は ${}_6 \mathrm{ C }_2$ 通り。

そのそれぞれについて、残り $4$ 冊から $2$ 冊を選ぶ場合の数は ${}_4 \mathrm{ C }_2$ 通りずつ。

そのそれぞれについて、残り $2$ 冊から $2$ 冊を選ぶ場合の数は ${}_2 \mathrm{ C }_2$ 通りずつ。

求める分け方の総数は、$(ii)$ で $A \ , \ B \ , \ C$ の区別をなくせばよいので

\begin{align*} &\frac{{}_6 \mathrm{ C }_2 \times {}_4 \mathrm{ C }_2 \times {}_2 \mathrm{ C }_2}{3!} \\[ 10pt ] = \ &\frac{90}{3!} \\[ 10pt ] = \ &\frac{90}{3 \cdot 2 \cdot 1} \\[ 10pt ] = \ &15 \ \text{（通り）} \end{align*}

問(iii)のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。