場合の数|グループ分けについて

05/20/2017数学A場合の数,組合せ,グループ分け

場合の数と確率

グループ分けを扱った問題を解いてみよう

次の問題を考えてみましょう。

グループ分けを扱った問題

問(i)の解答・解説

問(i)
6冊の異なる本を1冊、2冊、3冊に分けるときの分け方。

グループ分けをするときに確認することが2つありました。

問題を解く前に必ず確認しよう

  1. いくつかのグループに分ける人や物が区別できるかどうか
  2. 分けてできるグループが区別できるかどうか

本は6冊とも異なるので区別できます。また、3つのグループも冊数が異なるので区別できます。分け方は以下のようになります。

  • 6冊から1冊を選ぶので、${}_6 \mathrm{ C }_1$ 通り
  • 1冊の選び方のそれぞれについて、5冊から2冊を選ぶので、${}_5 \mathrm{ C }_2$ 通りずつ
  • 2冊の選び方のそれぞれについて、残った3冊を選ぶので、${}_3 \mathrm{ C }_3$ 通りずつ

積の法則を使って計算します。

問(i)の解答例
\begin{align*}
&{}_6 \mathrm{ C }_1 \times {}_5 \mathrm{ C }_2 \times {}_3 \mathrm{ C }_3 \\[ 10pt ]
= \ &6 \times \frac{{}_5 \mathrm{ P }_2}{2!} \times 1 \\[ 10pt ]
= \ &6 \times \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1}
\end{align*}

解答例は以下のようになります。

問(i)の解答例

1冊、2冊、3冊の順に本を選びましたが、グループが区別できるので、どの冊数から選んでも計算結果は変わりません。ただ、一般に、分ける数が少ない方から処理していくと、計算がいくらか楽になります。

3冊、2冊、1冊の順のときと比べてみると、いくらか実感できると思います。

問(i)の別解例
\begin{align*}
&{}_6 \mathrm{ C }_3 \times {}_3 \mathrm{ C }_2 \times {}_1 \mathrm{ C }_1 \\[ 10pt ]
= \ &\frac{{}_6 \mathrm{ P }_3}{3!} \times \frac{{}_3 \mathrm{ P }_2}{2!} \times 1 \\[ 10pt ]
= \ &\frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} \times \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 1}
\end{align*}

小さなことですが、センター試験のようなシビアな時間制限のある状況では、計算のコツ1つが自分の身を助けてくれます。

問(ii)の解答・解説

問(ii)
2冊ずつ3人の子供A , B , Cに分けるときの分け方。

本は6冊とも異なるので区別できます。また、3つのグループは、本を渡す子供が異なるので区別できます。分け方は以下のようになります。

  • 6冊から2冊を選ぶので、${}_6 \mathrm{ C }_2$ 通り
  • 2冊の選び方のそれぞれについて、4冊から2冊を選ぶので、${}_4 \mathrm{ C }_2$ 通りずつ
  • 2冊の選び方のそれぞれについて、残った2冊を選ぶので、${}_2 \mathrm{ C }_2$ 通りずつ

積の法則を使って計算します。

問(ii)の解答例
\begin{align*}
&{}_6 \mathrm{ C }_2 \times {}_4 \mathrm{ C }_2 \times {}_2 \mathrm{ C }_2 \\[ 10pt ]
= \ &\frac{{}_6 \mathrm{ P }_2}{2!} \times \frac{{}_4 \mathrm{ P }_2}{2!} \times 1 \\[ 10pt ]
= \ &\frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} \times \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1}
\end{align*}

解答例は以下のようになります。

問(ii)の解答例

同じ冊数に分けますが、子供が区別できるのでグループも区別できることに注意しましょう。この点に気付けば特に問題ないでしょう。

問(iii)の解答・解説

問(iii)
2冊ずつの3組に分けるときの分け方。

本は6冊とも異なるので区別できます。しかし、3つのグループは名称がなく、冊数が同じで区別できません。分け方は以下のようになりますが、重複ぶんを含んでいることに注意しましょう。

  • 6冊から2冊を選ぶので、${}_6 \mathrm{ C }_2$ 通り
  • 2冊の選び方のそれぞれについて、4冊から2冊を選ぶので、${}_4 \mathrm{ C }_2$ 通りずつ
  • 2冊の選び方のそれぞれについて、残った2冊を選ぶので、${}_2 \mathrm{ C }_2$ 通りずつ
  • ただし、3組のグループは区別がつかないので、1つのグループ分けについて重複ぶん $3!$ 通りずつが含まれる。

積の法則を使って計算します。重複ぶんも忘れずに除きます。

問(iii)の解答例
\begin{align*}
&\frac{{}_6 \mathrm{ C }_2 \times {}_4 \mathrm{ C }_2 \times {}_2 \mathrm{ C }_2}{3!} \\[ 10pt ]
= \ &\frac{1}{3!} \times \frac{{}_6 \mathrm{ P }_2}{2!} \times \frac{{}_4 \mathrm{ P }_2}{2!} \times 1 \\[ 10pt ]
= \ &\frac{1}{3 \cdot 2 \cdot 1} \times \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} \times \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1}
\end{align*}

解答例は以下のようになります。

問(iii)の解答例

問(iii)では、問(ii)のグループが区別できるときの分け方を利用して、グループが区別できないときの分け方を求めます。この点に注意しておけば、グループ分けの問題でつまずくことはないでしょう。

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さいごに、もう一度、頭の中を整理しよう

  • グループに分ける人や物が区別できるかどうかを確認しよう。
  • グループが区別できるかどうかを確認しよう。
  • 同じ数ずつ分ける場合、重複ぶんを取り除こう。
  • グループ分けでは、選ぶ順番で中身の並びが区別されている。
  • グループが区別できない場合の数は、グループが区別できる場合の数を利用する。
  • グループに分ける数が少ない方から選んでいくと、簡単な計算になりやすい。