図形と方程式｜２直線の交点を通る直線について
２直線の交点を通る直線を扱った問題を解いてみよう
次の問題を解いてみましょう。
問
次の直線の方程式を求めよ。
$(1) \quad 2$ 直線 $x+y-4=0 \ , \ 2x-y+1=0$ の交点と点 $(-2 \ , \ 1)$ を通る直線
$(2) \quad 2$ 直線 $x-2y+2=0 \ , \ x+2y-3=0$ の交点を通り、直線 $5x+4y+7=0$ に垂直な直線
問(1)の解答・解説
問(1)
次の直線の方程式を求めよ。
$2$ 直線
\begin{align*} &\quad x+y-4=0 \\[ 7pt ] &\quad 2x-y+1=0 \end{align*}の交点と点 $(-2 \ , \ 1)$ を通る直線
問(1)は、直線の方程式や点の座標が異なるだけで、例題とほとんど変わりません。例題と同じ要領で解くことができるでしょう。
まず、２直線の交点を通る直線の方程式を導きます。
問(1)の解答例 1⃣
$k$ を定数とすると
\begin{align*} \quad k \left(x+y-4 \right)+\left(2x-y+1 \right)=0 \quad \cdots \text{①} \end{align*}は、$2$ 直線の交点を通る直線を表す。
まだ定数ｋの値が定まっていないので、２直線の交点を通る直線は特定されません。他の１点(－２，１)を通るので、この点の座標を利用して特定します。
点(－２，１)の座標を①式に代入します。代入した座標は、①式の解にならなければなりません。等式が成り立つことから、ｋの値を決定します。
問(1)の解答例 2⃣
\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad k \left(x+y-4 \right)+\left(2x-y+1 \right)=0 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \end{align*}直線①が点 $(-2 \ , \ 1)$ を通るとすると、方程式①に $x=-2 \ , \ y=1$ を代入して
\begin{align*} &\quad k \left(-2+1-4 \right)+\left\{ 2 \cdot \left(-2 \right)-1+1 \right\}=0 \\[ 7pt ] &\quad -5k-4=0 \end{align*}これを解くと
\begin{align*} \quad k=-\frac{4}{5} \end{align*}定数ｋの値が定まりました。求めたｋの値を①式に代入します。整理した式が、交点と点(－２，１)を通る直線の方程式です。
問(1)の解答例 3⃣
\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad k \left(x+y-4 \right)+\left(2x-y+1 \right)=0 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad k=-\frac{4}{5} \end{align*}これを①に代入すると
\begin{align*} &\quad -\frac{4}{5} \left(x+y-4 \right)+\left(2x-y+1 \right)=0 \\[ 7pt ] &\quad -4 \left(x+y-4 \right)+5 \left(2x-y+1 \right)=0 \end{align*}よって
\begin{align*} \quad 2x-3y+7=0 \end{align*}ｋの値を代入した後、分数の処理を優先しましょう。分数を分配法則して展開するよりも、分母を払って展開した方が計算ミスしにくいでしょう。
問(1)の別解・解説
別解として、これまでの解法で解きます。２直線の交点の座標を求め、２点を通る直線の方程式（公式）を利用します。
問(1)の別解例
\begin{align*} &\quad x+y-4=0 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad 2x-y+1=0 \quad \cdots \text{②} \end{align*}$2$ 直線の交点の座標は①，②を連立して
①＋②
\begin{align*} \quad x=1 \end{align*}これと①から
\begin{align*} \quad y=3 \end{align*}よって、$2$ 点 $(1 \ , \ 3) \ , \ (-2 \ , \ 1)$ を通る直線の方程式は
\begin{align*} &\quad \left(1-3 \right) \left(x-1 \right)-\left(-2-1 \right) \left(y-3 \right)=0 \\[ 7pt ] &\quad -2 \left(x-1 \right)+3 \left(y-3 \right)=0 \end{align*}したがって
\begin{align*} \quad 2x-3y+7=0 \end{align*}解法によって計算量が異なるので、ミスしにくい解法を採用しましょう。従来の解法の方で解き慣れているでしょうが、新しい解法もしっかりマスターしておきましょう。
共通テストなどの誘導形式の問題では、解法を選べません。ですから、模範的な解答を押さえておくことは必須です。
問(2)の解答・解説
問(2)
次の直線の方程式を求めよ。
$2$ 直線
\begin{align*} &\quad x-2y+2=0 \\[ 7pt ] &\quad x+2y-3=0 \end{align*}の交点を通り、直線
\begin{align*} \quad 5x+4y+7=0 \end{align*}に垂直な直線
問(2)では、例題と異なり、他の１点が与えらていません。その代わりに第３の直線が与えられています。
まずは、問(1)と同様に、２直線の交点を通る直線の方程式を導きます。
問(2)の解答例 1⃣
$k$ を定数とすると
\begin{align*} \quad k \left(x-2y+2 \right)+\left(x+2y-3 \right)=0 \quad \cdots \text{①} \end{align*}は、$2$ 直線の交点を通る直線を表す。
問(2)では、第３の直線と垂直である条件が与えられています。２直線の垂直条件を使えます。
①式を一般形で表してから、２直線の垂直条件を利用します。
問(2)の解答例 2⃣
\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad k \left(x-2y+2 \right)+\left(x+2y-3 \right)=0 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \end{align*}直線①の方程式を変形すると
\begin{align*} \quad \left(k+1 \right)x-2\left(k-1 \right)y+\left(2k-3 \right)=0 \quad \cdots \text{①’} \end{align*}２直線の垂直条件は２通りあります。ここでは、傾きの積ではなく、一般形での垂直条件を利用します。
問(2)の解答例 3⃣
\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad \left(k+1 \right)x-2\left(k-1 \right)y+\left(2k-3 \right)=0 \quad \cdots \text{①’} \end{align*}直線①’が直線 $5x+4y+7=0$ に垂直であるには
\begin{align*} \quad \left(k+1 \right) \cdot 5-2\left(k-1 \right) \cdot 4=0 \end{align*}を満たせばよい。
これを解くと
\begin{align*} \quad k=\frac{13}{3} \end{align*}定数ｋの値が定まりました。求めたｋの値を直線①’の方程式に代入します。①式に代入するよりも、一般形になっている①’式に代入しましょう。
問(2)の解答例 4⃣
\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad \left(k+1 \right)x-2\left(k-1 \right)y+\left(2k-3 \right)=0 \quad \cdots \text{①’} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad k=\frac{13}{3} \end{align*}これを①’に代入すると
\begin{align*} \quad \left(\frac{13}{3}+1 \right)x-2\left(\frac{13}{3}-1 \right)y+\left(2 \cdot \frac{13}{3}-3 \right)=0 \end{align*}両辺に $3$ を掛けて
\begin{align*} \quad \left(13+3 \right)x-2\left(13-3 \right)y+\left(2 \cdot 13-9 \right)=0 \end{align*}さらに整理すると
\begin{align*} \quad 16x-20y+17=0 \end{align*}２直線の垂直条件は以下の通りです。傾きの積が一般的ですが、ｘ軸に垂直な直線に関する吟味が必要になります。
２直線の垂直条件
$2$ 直線
\begin{align*} &\quad y=m_{1}x+n_{1} \\[ 7pt ] &\quad y=m_{2}x+n_{2} \end{align*}が垂直であるとき、垂直条件は
\begin{align*} \quad m_{1} m_{2}=-1 \end{align*}また、$2$ 直線
\begin{align*} &\quad a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 \\[ 7pt ] &\quad a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 \end{align*}が垂直であるとき、垂直条件は
\begin{align*} \quad a_{1} a_{2}+b_{1} b_{2}=0 \end{align*}問(2)の別解・解説
傾きの積を利用すると、解答例は以下の通りです。
問(2)の別解例
$k$ を定数とすると
\begin{align*} \quad k \left(x-2y+2 \right)+\left(x+2y-3 \right)=0 \quad \cdots \text{①} \end{align*}は、$2$ 直線の交点を通る直線を表す。
このとき
\begin{align*} \quad \left(k+1 \right)x-2\left(k-1 \right)y+\left(2k-3 \right)=0 \quad \cdots \text{①’} \end{align*}$k=1$ のとき、①’は
\begin{align*} \quad x=\frac{1}{2} \end{align*}となり、これは直線 $5x+4y+7=0$ と垂直ではないので
\begin{align*} \quad k \neq 1 \end{align*}$k \neq 1$ のとき、直線①’の傾きは
\begin{align*} \quad \frac{k+1}{2(k-1)} \end{align*}また、直線 $5x+4y+7=0$ の傾きは
\begin{align*} \quad -\frac{5}{4} \end{align*}直線①’が直線 $5x+4y+7=0$ と垂直であるためには
\begin{align*} \quad \frac{k+1}{2(k-1)} \cdot \left(-\frac{5}{4} \right)=-1 \end{align*}を満たせばよい。これを解くと
\begin{align*} \quad k=\frac{13}{3} \end{align*}これを①’に代入すると
\begin{align*} \quad \left(\frac{13}{3}+1 \right)x-2\left(\frac{13}{3}-1 \right)y+\left(2 \cdot \frac{13}{3}-3 \right)=0 \end{align*}整理すると
\begin{align*} \quad 16x-20y+17=0 \end{align*}傾きの積を利用する解法では、傾きの分母が０ではないことを示す必要があります。そのせいでかなり面倒な印象になります。
他の解法として、交点の座標を求めてから、傾きと１点の座標を用いる解法もあります。
問(2)の別解例
\begin{align*} &\quad x-2y+2=0 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad x+2y-3=0 \quad \cdots \text{②} \end{align*}$2$ 直線の交点の座標は①，②を連立して
①＋②
\begin{align*} \quad x=\frac{1}{2} \end{align*}これと①より
\begin{align*} \quad y=\frac{5}{4} \end{align*}$2$ 直線①，②の交点の座標は
\begin{align*} \quad \left(\frac{1}{2} \ , \ \frac{5}{4} \right) \end{align*}この点を通り、直線 $5x+4y+7=0$ に垂直な直線の方程式は
\begin{align*} \quad 4\left(x-\frac{1}{2} \right)-5 \left(y-\frac{5}{4} \right)=0 \end{align*}両辺に $4$ を掛けて
\begin{align*} \quad 4 \left(4x-2 \right)-5 \left(4y-5 \right)=0 \end{align*}整理すると
\begin{align*} \quad 16x-20y+17=0 \end{align*}答案がすっきりしているので、この解法の方が分かりやすく、取り組みやすいかもしれません。
なお、直線の方程式を整理するときは工夫しましょう。分数を分配法則で展開するよりも、分母を払ってから展開した方が計算ミスを減らせます。
また、解答例から分かるように、直線の方程式を一般形で求めることができると、かなり楽になります。
垂直な直線の方程式
点 $(x_{1} \ , \ y_{1})$ を通り、直線
\begin{align*} \quad \underline{a} x\underline{+b} y+c=0 \end{align*}に垂直な直線の方程式は
\begin{align*} \quad \underline{\underline{b}} \left(x-x_{1} \right) \underline{\underline{-a}} \left(y-y_{1} \right)=0 \end{align*}これは $a=0$ または $b=0$ の場合も成り立つ。
ｘ，ｙの係数が入れ替わっていることに注目すると覚えやすいでしょう。
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さいごにもう一度まとめ
- ２直線の交点を通る直線は、２直線の方程式で作ることができる。
- 点の座標や傾きの情報から、求める直線を特定する。
- 直線の方程式を一般形で求めることに慣れておこう。
- 垂直条件や平行条件も一般形の係数を使った条件を利用しよう。
- 要領よく式を整理しよう。