複素数と方程式｜２重解をもつ条件について

05/24/2021数学２

今回は、２重解をもつ条件について学習しましょう。扱う方程式は、２次方程式ではなく、３次方程式になります。

３次式を因数分解できなければならないので、不安な人は復習しながら進めていきましょう。

３次方程式の問題の取り組み方

３次方程式を扱った問題では、１次式と２次式の積に因数分解することが基本方針です。

３次式を因数分解するためには、因数となる１次式を見つけることが最優先です。因数となる１次式が見つかれば、組立除法を用いて割り算できます。割り算によって２次式の商が分りますが、この商が残りの因数となります。

３次方程式が２重解をもつ条件

３次方程式は最大で３つの実数解をもちます。この３つの解がすべて同じであれば、３重解と言います。また、３つのうち２つが同じであれば、２重解と言います。

２次方程式のときと異なり、３つの解がすべて同じときと、２つの解が同じときがあるので、３重解や２重解と区別できる言い方になっています。

このような３次方程式において、２重解をもつ条件を考えてみましょう。

３次方程式が１次式と２次式の積に因数分解できたとすると、すぐに思いつくのは、２次式から得られる２次方程式が重解をもつ場合です。

しかし、これだけではありません。２次方程式がもつ異なる２つの実数解のうち、１次式から得られる方程式の解と同じものがあるかもしれません。つまり、３次方程式が２重解をもつ可能性は２通りあるということです。

３次方程式が２重解をもつ条件を考えるときは、場合分けして、それぞれの場合で解かなければなりません。重解は２次方程式でよく扱われるので、[１]の場合だけで安心しがちです。[２]の場合を見落とさないようにしましょう。

３次方程式が２重解をもつ条件を決定してみよう

３次方程式が２重解をもつ条件を決定してみましょう。

例題の解答・解説

３次方程式を扱った問題なので、まず因数分解することを考えましょう。剰余の定理と因数定理から、３次式の因数となる１次式を探します。

因数となる１次式が分かったら、組立除法で３次式を割り算します。組立除法の結果は以下の通りです。

３次式を因数分解できたら、与えられた３次方程式を因数分解した形にします。この因数分解の結果から、解を求めるための方程式を新たに導きます。

３次方程式の解の１つは、１次方程式からすぐに分かります。この解をもとに場合分けをして、２重解をもつときの条件、言い換えると定数ａの値を求めます。つまり、２重解をもつ条件は定数ａによって決まるということです。

まず、２次方程式が重解をもつときです。ただし、１次方程式の解とは異なることも忘れないようにしましょう。

３次方程式は最大で３つの解をもつので、誤って３重解にならないように気を付けましょう。判別式の条件だけでは、２次方程式が重解をもつことは言えても、ｘ＝１を解にもたないことは言えません。

それを踏まえて２次方程式がｘ＝１を解にもたないという条件を付けています。２次方程式に特定の解をもたせないために、その解を代入しても等式が成り立たない（≠を用います）とします。

次は、２次方程式の解の１つが１となる（１次方程式の解と同じになる）ときです。もちろん、２次方程式の残りの解は１になってはいけません。

定数ａの値が分かったら、２次方程式の解をきちんと確認しましょう。与えられた３次方程式が２重解をもつのは、定数ａの値によって３通りあることが分かります。

組立除法が上手くいかないとき

係数に文字が含まれると、筆算はもちろんですが、組立除法でも難しく感じるかもしれません。そんなときは、最低次数の文字（ここでは定数ａ）について整理すると、３次式を因数分解できます。

２次方程式の因数分解でも扱った解法です。複数の文字がある場合、最低次数の文字に注目して変形します。この解法では、因数となる１次式が分かっていなくても因数分解できるところが利点です。

次は、３次方程式が２重解をもつ条件を扱った問題を実際に解いてみましょう。