整数の性質|n進法について

数学A

数学A 整数の性質

n進法を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

$(1) \quad 10$ 進数 $47$ を $2$ 進数と $5$ 進数でそれぞれ表わせ。

$(2) \quad 101_{\scriptsize{(2)}} \ , \ 12021_{\scriptsize{(3)}}$ をそれぞれ $10$ 進数で表わせ。

$(3) \quad n$ は $3$ 以上の整数とする。$10$ 進法で $(n+1)^{\scriptsize{2}}$ と表される数を $n$ 進法で表わせ。

問(1)の解答・解説

問(1)

$10$ 進数 $47$ を $2$ 進数と $5$ 進数でそれぞれ表わせ。

問(1)は、10進数から2進数や5進数への変換で、基本的な問題の1つです。手順通りに割り算を繰り返します。

47を2で割る割り算を繰り返し、商が0になったら終了します。また、余りを逆順に並べると、2進数が得られます。

n進法を扱った問題問(1)の解答例その1
問(1)47の2進数表示

また、47を5進数に変換するときも同じ手順で行います。底となる5で割る割り算を繰り返します。

n進法を扱った問題問(1)の解答例その2
問(1)47の5進数表示

きちんと変換できたか不安なときは検算しましょう。変換後の2進数や5進数がもとの10進数に戻るか検算すると、以下のようになります。

問(1)の検算

\begin{align*} &\text{$101111_{\scriptsize{(2)}}$ を $10$ 進数に戻すと、} \\[ 5pt ] &\quad 1 \cdot 2^{\scriptsize{5}} + 0 \cdot 2^{\scriptsize{4}} + 1 \cdot 2^{\scriptsize{3}} + 1 \cdot 2^{\scriptsize{2}} + 1 \cdot 2^{\scriptsize{1}} + 1 \cdot 2^{\scriptsize{0}} \\[ 7pt ] &= 32 + 8 + 4 + 2 + 1 \\[ 7pt ] &= 47 \\[ 7pt ] &\text{$142_{\scriptsize{(5)}}$ を $10$ 進数に戻すと、} \\[ 5pt ] &\quad 1 \cdot 5^{\scriptsize{2}} + 4 \cdot 5^{\scriptsize{1}} + 2 \cdot 5^{\scriptsize{0}} \\[ 7pt ] &= 25 + 20 + 2 \\[ 7pt ] &= 47 \end{align*}

ちゃんと10進数である47に戻りました。10進数への戻し方も覚えておきましょう。

問(2)の解答・解説

問(2)

$101_{\scriptsize{(2)}} \ , \ 12021_{\scriptsize{(3)}}$ をそれぞれ $10$ 進数で表わせ。

問(2)は、2進数や3進数を10進数へ変換する問題です。これも基本的な問題なので、しっかり解けるようにしておきましょう。

101(2)は、各位の数字を上の位から順に抜き出して並べた(位取りした)配列を表します。10進数に変換するには、2を用いて位取りしたときの式に戻します。

問(2)の解答例 1⃣

\begin{align*} &\text{$101_{\scriptsize{(2)}}$ を $10$ 進数に戻すと、} \\[ 5pt ] &\quad 1 \cdot 2^{\scriptsize{2}} + 0 \cdot 2^{\scriptsize{1}} + 1 \cdot 2^{\scriptsize{0}} \\[ 7pt ] &= 4 + 1 \\[ 7pt ] &= 5 \\[ 7pt ] &\therefore \ 101_{\scriptsize{(2)}} = 5 \end{align*}

10進数を2で位取りし、各位の数字を抜き出した。抜き出した結果が101(2)

⇒ 2進数表示をもとに、位取りしたときの式(各位の数字を抜き出すための式)に戻して整理すると10進数。

12021(3)も同じようにして10進数に変換します。

問(2)の解答例 2⃣

\begin{align*} &\text{$12021_{\scriptsize{(3)}}$ を $10$ 進数に戻すと、} \\[ 5pt ] &\quad 1 \cdot 3^{\scriptsize{4}} + 2 \cdot 3^{\scriptsize{3}} + 0 \cdot 3^{\scriptsize{2}} + 2 \cdot 3^{\scriptsize{1}} + 1 \cdot 3^{\scriptsize{0}} \\[ 5pt ] &= 81 + 54 + 6 + 1 \\[ 5pt ] &= 142 \\[ 10pt ] &\therefore \ 12021_{\scriptsize{(3)}} = 142 \end{align*}

10進数を3で位取りし、各位の数字を抜き出した。抜き出した結果が12021(3)

⇒ 3進数表示をもとに、位取りしたときの式(各位の数字を抜き出すための式)に戻して整理すると10進数。

問(3)の解答・解説

問(3)

$n$ は $3$ 以上の整数とする。$10$ 進法で $(n+1)^{\scriptsize{2}}$ と表される数を $n$ 進法で表わせ。

問(3)は、10進数をn進数へ変換する問題です。具体的な数ではありませんが、このような抽象的な問題を解きこなせるようになりたいものです。

n進数に変換するには、底となるnで位取りすれば良いので、10進数をnの累乗を用いて表します。そのために与式を展開します。

問(3)の解答例

\begin{align*} &\text{与式を展開すると、} \\[ 5pt ] &\quad (n+1)^{\scriptsize{2}} = n^{\scriptsize{2}} + 2n + 1 \\[ 7pt ] &\text{これを $n$ で位取りしたことが分かるようにすると、} \\[ 5pt ] &\quad \text{(与式)} = 1 \cdot n^{\scriptsize{2}} + 2 \cdot n^{\scriptsize{1}} + 1 \cdot n^{\scriptsize{0}} \\[ 7pt ] &\text{これは、$n$ が $3$ 以上の整数であることを満たす。} \\[ 5pt ] &\text{よって、与式を $n$ 進法で表すと、} \\[ 5pt ] &\therefore \ (n+1)^{\scriptsize{2}} = 121_{\scriptsize{(n)}} \end{align*}

各位の数字には条件がありました。n進法であれば、各位の数字はn-1以下でなければなりません。

ここでは、nは3以上の整数という条件なので、各項の係数は2以下の整数でなければなりません。展開後の式を見ると、各項の係数は2以下になっており、条件をしっかり満たしています。

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さいごにもう一度まとめ

  • 10進法で表される数は、0~9の数字の配列からなる数。
  • 10進数以外では、底を表記する。
  • 位取り記数法によって、10進数からn進数へ変換することができる。
  • 記数法の変換では、基礎となる底で割る割り算を繰り返し、余りを逆順に並べる。
  • 10進数から2進数への変換をマスターしよう。