図形と方程式｜放物線と円の共有点・接点について

01/22/2024数学２

放物線と円の共有点・接点を扱った問題を実際に解いてみよう

次の問を解いてみましょう。

問

放物線 $y = x^{2}$ と円 $x^{2} + (y - 4)^{2} = r^{2} (r > 0)$ がある。放物線と円の交点が $4$ 個となる $r$ の範囲を求めよ。

解く前に、放物線や円について基本的な事柄を確認しておきましょう。

放物線と円についての確認

放物線の方程式は

\begin{array}{r} y = x^{2} \end{array}

より、頂点は原点で、軸は $y$ 軸。

また、円の方程式は

\begin{array}{r} x^{2} + (y - 4)^{2} = r^{2} (r > 0) \end{array}

より、中心は $(0, 4)$ 、半径は $r$ 。

放物線も円もともに $y$ 軸に関して左右対称で、放物線の軸が円の中心を通る。

また、円の半径 $r$ の値が変化することで、放物線との交点の個数が変化する。

半径ｒの値が変化するのに伴って、放物線と円の交点の個数も変化します。ｒの値を徐々に大きくしていくと分かりやすいでしょう。

半径ｒの値を大きくすると、まず放物線が円と２点で接します（ｒ＝ｒ₁のとき）。

ｒの値をさらに大きくすると、放物線が円と４点で交わります。

最後に放物線が円と３点で交わります。このとき、接点が１つできます。

問放物線と円の交点の図（４つの交点をもつ場合） — 放物線と円が４つの交点をもつ

以上のことを踏まえて解きます。

問の解答例 1⃣

\begin{aligned} y = x^{2} \dots ① \\ x^{2} + (y - 4)^{2} = r^{2} (r > 0) \dots ② \end{aligned}

放物線と円が $1$ 点で接するときの円の半径は $4$ である。

また、放物線と円が $2$ 点で接するときの円の半径を $r_{1}$ とする。

放物線と円の交点が $4$ 個となるのは、図から

\begin{array}{r} r_{1} < r < 4 \end{array}

のときである。

よって、 $r_{1}$ の値を求めればよい。

求める半径ｒの範囲を把握することができました。あとは、放物線と円が２点で接するときの半径ｒの値を求めるだけです。

放物線と円の方程式を連立して、ｙについての２次方程式を導出します。ｙを消去すると、ｘについての４次方程式になるので注意しましょう。

問の解答例 2⃣

\begin{aligned} y = x^{2} \dots ① \\ x^{2} + (y - 4)^{2} = r^{2} (r > 0) \dots ② \\ ⋮ \\ r_{1} < r < 4 \\ ⋮ \end{aligned}

①，②から $x$ を消去すると

\begin{array}{r} y + (y - 4)^{2} = r^{2} \end{array}

整理すると

\begin{array}{r} y^{2} - 7 y + 16 - r^{2} = 0 \end{array}

これに $r = r_{1}$ を代入すると

\begin{array}{r} y^{2} - 7 y + 16 - {r_{1}}^{2} = 0 \end{array}

放物線が円と２点で接する（ｒ＝ｒ₁）とき、ｙについての２次方程式は重解をもちます。２次方程式の判別式を利用します。

問の解答例 3⃣

\begin{aligned} ⋮ \\ r_{1} < r < 4 \\ ⋮ \\ y^{2} - 7 y + 16 - {r_{1}}^{2} = 0 \end{aligned}

この $2$ 次方程式の判別式を $D$ とすると、 $r = r_{1}$ のとき $2$ 次方程式は重解をもつので

\begin{aligned} D & = {(- 7)}^{2} - 4 (16 - {r_{1}}^{2}) \\ = 4 {r_{1}}^{2} - 15 = 0 \end{aligned}

よって

\begin{array}{r} {r_{1}}^{2} = \frac{15}{4} \end{array}

ここで、 $r_{1} > 0$ より

\begin{array}{r} r_{1} = \frac{\sqrt{15}}{2} \end{array}

したがって、求める $r$ の範囲は

\begin{array}{r} \frac{\sqrt{15}}{2} < r < 4 \end{array}

図も参考にすると、放物線と円の交点の個数を把握しやすくなります。それほど悩まずに解くことができるでしょう。

問の別解・解説

例題(2)の別解と同様の考え方で解くことができます。もとの放物線と、後から導出した放物線（ｙについての2次式）とを混同しないように気を付けましょう。

問の別解例

\begin{aligned} y = x^{2} \dots ① \\ x^{2} + (y - 4)^{2} = r^{2} (r > 0) \dots ② \end{aligned}

①より

\begin{array}{r} y = x^{2} ≧ 0 \end{array}

①であるので

\begin{array}{r} y ≧ 0 \end{array}

$y > 0$ の $y$ の $1$ つの値に対して、 $x$ の値は $2$ つある。

それに対して、 $y = 0$ のとき、 $x$ の値は $x = 0$ だけである。

よって、放物線と円が $4$ 個の共有点をもつための条件は、放物線①と円②から $x$ を消去して得られる $2$ 次方程式

\begin{array}{r} y^{2} - 7 y + 16 - r^{2} = 0 \end{array}

が $y > 0$ において、異なる $2$ つの正の解をもつことである。

ｙ＞０の範囲で考えなければならないので、「異なる２つの実数解」という条件では足りません。実数解は異なる２つの正の解でなければなりません。

このような解をもつ範囲内で、さらに条件を列挙します。このとき、ｙについての２次方程式から２次関数に置き換えて考えます。

問の別解例 2⃣

\begin{aligned} y = x^{2} \dots ① \\ x^{2} + (y - 4)^{2} = r^{2} (r > 0) \dots ② \\ ⋮ \\ y^{2} - 7 y + 16 - r^{2} = 0 \\ ⋮ \end{aligned}

$2$ 次方程式の判別式を $D$ とすると

\begin{aligned} D & = {(- 7)}^{2} - 4 (16 - r^{2}) \\ = 4 r^{2} - 15 \\ = (2 r + \sqrt{15}) (2 r - \sqrt{15}) > 0 \end{aligned}

ここで、 $r > 0$ より

\begin{array}{r} r > \frac{\sqrt{15}}{2} \dots ③ \end{array}

また

\begin{aligned} f (y) & = y^{2} - 7 y + 16 - r^{2} \\ = {(y - \frac{7}{2})}^{2} + \frac{15}{4} - r^{2} \end{aligned}

とすると、軸は

\begin{array}{r} \frac{7}{2} > 0 \end{array}

また

\begin{array}{r} f (0) = 16 - r^{2} > 0 \end{array}

から

\begin{array}{r} - 4 < r < 4 \dots ④ \end{array}

③，④の共通範囲から、求める $r$ の範囲は

\begin{array}{r} \frac{\sqrt{15}}{2} < r < 4 \end{array}

問の別解の図（２次関数ｆ(ｙ)のグラフが異なる２つの正の解をもつ場合） — 問の別解の図

２次関数ｆ(ｘ)の式を変形すると、グラフの軸がｙ＞０の範囲に含まれることが分かります。ですから、２次方程式が異なる２つの正の解をもつには、判別式Ｄ＞０の条件と、ｆ(０)＞０の条件だけで済みます。

方程式の実数解と、グラフの共有点との関係は、関数の単元では頻繁に出題されます。特に、三角関数では２次関数よりも難解になるので、差がつきやすくなります。じっくり時間を取って余裕をもって取り組みましょう。

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さいごにもう一度まとめ

放物線と円の接点は、２個の場合と１個の場合がある。
放物線と円の共有点を考えるとき、交わるだけでなく、接するときも考えよう。
放物線と円の接点を求めるには、ｙについての２次方程式を導出しよう。
ｙについての２次方程式が重解をもてば、放物線と円は２点で接する。
共有点なら実数解、接点なら重解と覚えよう。

数学２円,共有点,図形と方程式,接点,放物線

Posted by kiri

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