数学Ａ｜意外と苦手な人が多い整数に関する入試問題を解いてみよう
整数に関する問題を苦手にしている人は意外と多いかもしれません。中には、整数なのにどうして文字式が出てくるんだと憤慨している人もいるかもしれません。
具体的な数であれば文字式を必要としませんが、一般化して整数全体を扱うには文字式がどうしても必要です。まずは典型的な問題からこなしていって、整数問題の基本的な扱い方をマスターすることが大切です。
過去問を解いてみよう
まずは力試しに自力で解いてみると良いでしょう。
問題
$a \ , \ b \ , \ c$ はどの $2$ つも $1$ 以外の共通な約数をもたない正の整数とする。ここで、$a \ , \ b \ , \ c$ は $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ を満たしている。
$(1) \ c$ は奇数であることを示せ。
$(2) \ a \ , \ b$ の $1$ つは $3$ の倍数であることを示せ。
$(3) \ a \ , \ b$ の $1$ つは $4$ の倍数であることを示せ。
見るからに整数問題です。自分なりにじっくりと試行錯誤してみましょう。
問題(1)の解答・解説
問題(1)
$a \ , \ b \ , \ c$ はどの $2$ つも $1$ 以外の共通な約数をもたない正の整数とする。ここで、$a \ , \ b \ , \ c$ は $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ を満たしている。
$c$ は奇数であることを示せ。
問題(1)では、ｃが奇数であることを示す問題です。まずは平方数の偶数・奇数の組合せを確認してみましょう。
偶数・奇数の組合せ
- 偶数＋偶数＝偶数
- 偶数＋奇数＝奇数，奇数＋偶数＝奇数
- 奇数＋奇数＝偶数
自然数を偶数と奇数の２種類に分類して平方数の和を考えると、上記の組合せになります。
ただし、ａ，ｂ，ｃはどの２つも１以外の共通な約数をもたない、言い換えると互いに素であるので、１番目の組合せについては除外できます。
与式が三平方の定理の式であることに気付けば、3：4：5 や 5：12：13 などが思い当たります。この組合せから３番目の組合せも除外できそうです。
しかし、偶数を２ｍ、奇数を２ｍ＋１などとおけば、２番目の組合せだけを示すことはできそう（実際にできる）ですが、少し説明に手間取りそうです。
このような問題では、ｃが奇数である前提で考えるよりも、偶数であると仮定して矛盾を引き出す方が取り組みやすいです。これは背理法の考え方です。
具体的な自然数で考えてみよう
具体的な正の整数、すなわち自然数を使って考えてみましょう。
偶数か奇数かを考える場合、一番取っ付き易いのが「２で割り切れるかどうか」です。除法が出てくると、よく利用されるのが合同式です。
ここでは、合同式を利用して２で割った余りを考えてみましょう。
２で割った余りで考える（失敗例）
任意の自然数を $n$ とする。
$n$ を $2$ で割った余りを考えると
\begin{align*} \quad n \equiv 0 \ , \ 1 \pmod 2 \end{align*}のいずれかが成り立つ。
このとき、$n^{\scriptsize{2}}$ を $2$ で割った余りは表のようになる。
\begin{array}{c|c|c} n & 0 & 1 \\ \hline n^{2} & 0 & 1 \end{array}$c$ が偶数であるとすると
\begin{align*} \quad c^{2} \equiv 0 \pmod 2 \end{align*}であるが、表から
\begin{align*} &\quad a^{2} \equiv 0 \ , \ b^{2} \equiv 0 \pmod 2 \\[ 7pt ] &\quad a^{2} \equiv 1 \ , \ b^{2} \equiv 1 \pmod 2 \end{align*}のどちらの場合であっても
\begin{align*} &\quad a^{2}+b^{2} \equiv 0 \pmod 2 \end{align*}が成り立ち、矛盾を引き出せない。
やってはみましたが、２で割ったときの合同式では上手くいかないみたいです。どうやら、２で割った分類では緩すぎて絞り込めていないようです。
原因は、ｃが偶数でも成り立つ、１番目（ａ，ｂがともに偶数）や３番目（ａ，ｂがともに奇数）の組合せが含まれてしまうからです。
これで諦めてはいけません。２で駄目なら、４で割ったときの合同式で考えます。ｃが偶数であるとき、その平方数は４の倍数となることがヒントです。
問題(1)の解答例
\begin{align*} \quad a^{2}+b^{2}=c^{2} \quad \cdots \text{①} \end{align*}$a \ , \ b \ , \ c$ は どの $2$ つも互いに素な正の整数 $( \ast )$
任意の自然数を $n$ とする。
$n$ を $4$ で割った余りを考えると
\begin{align*} \quad n \equiv 0 \ , \ 1 \ , \ 2 \ , \ 3 \pmod 4 \end{align*}のいずれかが成り立つ。
このとき、$n^{2}$ を $4$ で割った余りは表のようになる。
\begin{array}{c|c|c|c|c} n & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline n^{2} & 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}$c$ が偶数であるとすると
\begin{align*} \quad c^{2} \equiv 0 \pmod 4 \end{align*}であるから、①より
\begin{align*} \quad a^{2}+b^{2} \equiv 0 \pmod 4 \end{align*}が成り立つのは、表より
\begin{align*} \quad a^{2} \equiv 0 \ \text{かつ} \ b^{2} \equiv 0 \pmod 4 \end{align*}のときだけである。
このとき、$a \ , \ b$ はともに偶数なので、$( \ast )$ と矛盾する。
よって、$c$ は奇数である。
４で割った余りで分類しているので、２で割った余りのときよりも、数を細かく分類できます。
問題(1)の解答例から、ｃが偶数であれば、ａ，ｂも偶数でなければならないことが分かります。
これでは「ａ，ｂ，ｃはどの２つも１以外の共通な約数をもたない」という条件を満たさなくなります。ですから、ｃは偶数ではなく、奇数だと言うことができます。
平方前の正の整数で、偶数の最小値は２です。ですから、平方後の偶数の最小値は４となります。ここに気付いていれば、４で割った余りで分類しても良さそうだと思えたかもしれません。
問題(2)の解答・解説
問題(2)
$a \ , \ b \ , \ c$ はどの $2$ つも $1$ 以外の共通な約数をもたない正の整数とする。ここで、$a \ , \ b \ , \ c$ は $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ を満たしている。
$a \ , \ b$ の $1$ つは $3$ の倍数であることを示せ。
問題(2)では、３の倍数を考えるので、３で割った余りで分類します。ただ、ａ，ｂの１つが３の倍数であることを示すのは、なかなか難しそうです。
問題(1)と同じように、矛盾を引き出すやり方で解きます。
問題(2)の解答例
\begin{align*} \quad a^{2}+b^{2}=c^{2} \quad \cdots \text{①} \end{align*}$a \ , \ b \ , \ c$ は どの $2$ つも互いに素な正の整数 $( \ast )$
(1)と同様に、任意の自然数を $n$ とする。
$n$ を $3$ で割った余りを考えると
\begin{align*} \quad n \equiv 0 \ , \ 1 \ , \ 2 \pmod 3 \end{align*}のいずれかが成り立つ。
このとき、$n^{2}$ を $3$ で割った余りは表のようになる。
\begin{array}{c|c|c|c} n & 0 & 1 & 2 \\ \hline n^{2} & 0 & 1 & 1 \end{array}$a \ , \ b$ が $3$ の倍数でないとすると、表から
\begin{align*} \quad a^{2} \equiv 1 \ , \ b^{2} \equiv 1 \pmod 3 \end{align*}であるので
\begin{align*} \quad a^{2}+b^{2} \equiv 2 \pmod 3 \end{align*}これと①から
\begin{align*} \quad c^{2} \equiv 2 \pmod 3 \end{align*}となるが、これは表から成り立たない。
したがって、$a \ , \ b$ の $1$ つは $3$ の倍数である。
ａ，ｂがともに３の倍数でない場合、ｃの平方数は、ａの平方数とｂの平方数の和に等しいので、３で割った余りが２となる数になるはずです。
しかし、このような数は表を見ると存在しません。ここで矛盾が生じるので、上手く証明することができました。
問題(3)の解答・解説
問題(3)
$a \ , \ b \ , \ c$ はどの $2$ つも $1$ 以外の共通な約数をもたない正の整数とする。ここで、$a \ , \ b \ , \ c$ は $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ を満たしている。
$a \ , \ b$ の $1$ つは $4$ の倍数であることを示せ。
問題(3)では、４の倍数を考えるので、４で割った余りで分類したいところです。
しかし、問題(1)の結果を参考にすると、どうも上手くいかないようです。確認のために、４で割った余りで考えてみます。
４で割った余りで考える（失敗例）
任意の自然数 $n$ を $4$ で割った余りを考えると
\begin{align*} \quad n \equiv 0 \ , \ 1 \ , \ 2 \ , \ 3 \pmod 4 \end{align*}のいずれかが成り立つ。
このとき、$n^{2}$ を $4$ で割った余りは表のようになる。
\begin{array}{c|c|c|c|c} n & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline n^{2} & 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}$a \ , \ b$ が $4$ の倍数でないとすると、表から
\begin{align*} &\quad a^{2} \equiv 0 \ \text{または} \ 1 \pmod 4 \\[ 7pt ] &\quad b^{2} \equiv 0 \ \text{または} \ 1 \pmod 4 \end{align*}であるので
\begin{align*} \quad a^{2}+b^{2} \equiv 0+0=0 \pmod 4 \end{align*}または
\begin{align*} \quad a^{2}+b^{2} \equiv 0+1=1 \pmod 4 \end{align*}または
\begin{align*} \quad a^{2}+b^{2} \equiv 1+1=2 \pmod 4 \end{align*}これと①から
\begin{align*} \quad c^{2} \equiv 0 \ , \ 1 \ , \ 2 \pmod 4 \quad \cdots \text{②} \end{align*}ここで、$(1)$ より $c$ は奇数であるので
\begin{align*} \quad c \equiv 1 \ , \ 3 \pmod 4 \end{align*}よって
\begin{align*} \quad c^{2} \equiv 1 \pmod 4 \quad \cdots \text{③} \end{align*}②と③は
\begin{align*} \quad c^{2} \equiv 1 \pmod 4 \end{align*}のときにともに成り立つので矛盾しない。
よって、矛盾を引き出せない。
ａ，ｂが４の倍数でないという条件から得られた②式と、ｃが奇数であるという条件から得られた③式では、４で割った余りが１となる結果では矛盾しません。ですから、４で割った余りでは上手く矛盾を引き出せません。
４が駄目だったので、８で割った余りで分類します。
問題(3)の解答例
\begin{align*} \quad a^{2}+b^{2}=c^{2} \quad \cdots \text{①} \end{align*}$a \ , \ b \ , \ c$ は どの $2$ つも互いに素な正の整数 $( \ast )$
(1)と同様に、任意の自然数を $n$ とする。
$n$ を $8$ で割った余りを考えると
\begin{align*} \quad n \equiv 0 \ , \ \pm 1 \ , \ \pm 2 \ , \ \pm 3 \ , \ 4 \pmod 8 \end{align*}のいずれかが成り立つ。
このとき、$n^{2}$ を $8$ で割った余りは表のようになる。
\begin{array}{c|c|c|c|c|c} n & 0 & \pm 1 & \pm 2 & \pm 3 & 4 \\ \hline n^{2} & 0 & 1 & 4 & 1 & 0 \end{array}ここで、$a \ , \ b$ が $4$ の倍数でないとすると、表から
\begin{align*} &\quad a^{2} \equiv 1 \ \text{または} \ 4 \pmod 8 \\[ 7pt ] &\quad b^{2} \equiv 1 \ \text{または} \ 4 \pmod 8 \end{align*}または
\begin{align*} \quad a^{2}+b^{2} \equiv 1+4=5 \pmod 8 \end{align*}または
\begin{align*} \quad a^{2}+b^{2} \equiv 4+4=8 \equiv 0 \pmod 8 \end{align*}これと①から
\begin{align*} \quad c^{2} \equiv 0 \ , \ 2 \ , \ 5 \pmod 8 \quad \cdots \text{②} \end{align*}ここで、$(1)$ より $c$ は奇数であるので
\begin{align*} \quad c \equiv \pm 1 \ , \ \pm 3 \pmod 8 \end{align*}よって
\begin{align*} \quad c^{2} \equiv 1 \pmod 8 \quad \cdots \text{③} \end{align*}②と③は矛盾するので、$a \ , \ b$ の $1$ つは $4$ の倍数である。
（ただし、$a \ , \ b$ がともに $4$ の倍数となると、$( \ast )$ と矛盾する。）
平方前の数が４の倍数である場合、平方数は 16 の倍数となります。ただ、16 で割った余りで分類するとなると、かなり細かく分類されることになります。そこでもう少し分類が楽になるように、８で割った余りで分類します。
８で割った余りで上手く証明できたことを考えると、「２の倍数」や「４の倍数」と言われても、２や４で割った余りで分類する必要はないということです。
どうしても矛盾を引き出せない場合、たとえば２の倍数で４、４の倍数で８などのように、数字を大きくして少しだけ細かく分類しましょう。
大切なことは「矛盾を引き出せるように、数を分類する」ことです。
ピタゴラス数
問題に出てきた式を満たす自然数の組のことをピタゴラス数と言います。特に、３つの自然数の最大公約数が１のものを原始ピタゴラス数と言います。
ピタゴラス数
\begin{align*} \quad a^{2}+b^{2}=c^{2} \end{align*}を満たす自然数 $a \ , \ b \ , \ c$ の組をピタゴラス数と言う。
特に、どの $2$ つも $1$ 以外の共通な約数をもたない自然数の場合、原始ピタゴラス数と言う。
たとえば
\begin{align*} \left( a \ , \ b \ , \ c \right)=\left( 3 \ , \ 4 \ , \ 5 \right) \ , \ \left( 5 \ , \ 12 \ , \ 13 \right) \end{align*}は原始ピタゴラス数である。
合同式のまとめ
覚えておきたい合同式の定義とその性質は、以下の通りです。
- 合同式
- $a-b$ が $m$ の倍数であるとき、$a \ , \ b$ は $m$ を法として合同であるといい、$a \equiv b \pmod m$ と式で表す。このような式を合同式という。
- 合同式の性質①
- 反射律 $a \equiv a \pmod m$
- 対称律 $a \equiv b \pmod m$ のとき、$b \equiv a \pmod m$
- 推移律 $a \equiv b \pmod m \ , \ b \equiv c \pmod m$ のとき、$a \equiv c \pmod m$ または $a\equiv b \equiv c \pmod m$
- 合同式の性質② $a \equiv b \pmod m \ , \ c \equiv d \pmod m$ のとき、次のことが成り立つ。
- $a+c \equiv b+d \pmod m$
- $a-c \equiv b-d \pmod m$
- $ac \equiv bd \pmod m$
- 自然数（０以上の整数も可） $n$ に対し $a^n \equiv b^n \pmod m$
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