図形と方程式｜垂線の長さの最小について

01/14/2023数学２

垂線の長さの最小を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

問

放物線 $y=-x^{2} \ \cdots$ ①と直線 $y=-2x+k \quad (k \gt 1) \ \cdots$ ②がある。

放物線①上の点と直線②の距離の最小値が $1$ となるように、定数 $k$ の値を定めよ。

問の解答・解説

問題文を読むと「放物線①上の点と～」となるので、例題よりも点と直線の距離をイメージしやすいかもしれません。

作図すると、以下のようになります。

放物線①上の点を定義して、点と直線の距離を利用します。

問の解答例 1⃣

放物線①上の点を $P (a \ , \ -a^{2})$ とする。

また、②より

$\begin{align*} \quad 2x+y-k=0 \end{align*}$

点 $P$ と直線②の距離を $d$ とすると

$\begin{align*} \quad d=\frac{| 2a-a^{2}-k |}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}} \end{align*}$

よって

$\begin{align*} \quad d=\frac{| a^{2}-2a+k |}{\sqrt{5}} \end{align*}$

放物線①上の点Ｐと直線②の距離ｄを導きました。これが放物線②上の点Ｐから下した垂線の長さです。

距離ｄの右辺を平方完成します。

問の解答例 2⃣

$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad d=\frac{| a^{2}-2a+k |}{\sqrt{5}} \end{align*}$

これの右辺を変形すると

$\begin{align*} &\quad d =\frac{1}{\sqrt{5}} \left| \ a^{2}-2a+k \ \right| \\[ 7pt ] &\quad \ =\frac{1}{\sqrt{5}} \left| \ \left(a-1 \right)^{2}+k-1 \ \right| \end{align*}$

絶対値の中の式を確認します。

問の解答例 3⃣

$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad \ =\frac{1}{\sqrt{5}} \left| \ \left(a-1 \right)^{2}+k-1 \ \right| \end{align*}$

ここで

$\begin{align*} \quad \left(a-1 \right)^{2} \geqq 0 \end{align*}$

また、 $k \gt 1$ であるので $k-1 \gt 0$

よって

$\begin{align*} \quad \left(a-1 \right)^{2}+k-1 \gt 0 \end{align*}$

これより $d$ は

$\begin{align*} \quad d=\frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \left(a-1 \right)^{2}+k-1 \right\} \end{align*}$

よって

$\begin{align*} \quad d=\frac{1}{\sqrt{5}} \left(a-1 \right)^{2}+\frac{k-1}{\sqrt{5}} \end{align*}$

絶対値の中の２次式を平方完成すると、式の値がつねに正であることが分かります。ですから、絶対値を外しても問題ありません。

距離ｄの最小値と、そのときのａの値を求めます。このときの点Ｐは、直線②に最も近い点となります。

問の解答例 4⃣

$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad d=\frac{1}{\sqrt{5}} \left(a-1 \right)^{2}+\frac{k-1}{\sqrt{5}} \end{align*}$

よって、 $d$ は $a=1$ で最小値 $\frac{k-1}{\sqrt{5}}$ をとる。

例題と異なるのはここからです。ここでは、距離の最小値が１になるときを考えます。

問の解答例 5⃣

$\begin{align*} \quad \vdots \\[ 7pt ] \end{align*}$

よって、 $d$ は $a=1$ で最小値 $\frac{k-1}{\sqrt{5}}$ をとる。

最小値が $1$ になるための条件は

$\begin{align*} \quad \frac{k-1}{\sqrt{5}}=1 \end{align*}$

であるので、これを解くと

$\begin{align*} \quad k=\sqrt{5}+1 \end{align*}$

したがって、求める定数 $k$ の値は

$\begin{align*} \quad k=\sqrt{5}+1 \end{align*}$

例題と問では、絶対値を外さずに解くことができます。ただ、入試では、絶対値を含む式が意外と登場します。絶対値の扱い方を一通り訓練しておいた方が良いでしょう。

絶対値の扱いに慣れてくると、計算を進めていくには絶対値が邪魔なものだと分かります。ですから、絶対値の外し方を知っておくことは大切です。特に、式の値の正負を調べることができるようにしておきましょう。

２次式の値の正負は、平方完成で調べよう。

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