データの分析｜データの代表値について

09/11/2023数学１

データの代表値を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

問１

$12$ 人の生徒の $1$ ヶ月の読書冊数を調べたら

$\begin{align*} &\quad 3 \ , \ 2 \ , \ 6 \ , \ 0 \ , \\[ 7pt ] &\quad 4 \ , \ 1 \ , \ 5 \ , \ 2 \ , \\[ 7pt ] &\quad 4 \ , \ 1 \ , \ 3 \ , \ 2 \end{align*}$

であった。次の値を求めよ。

$(1)$ 平均値

$(2)$ 中央値

$(3)$ 最頻値

問１(1)の解答・解説

問１は、データの代表値を求める問題です。問１(3)で最頻値を求める必要があるので、問題を解く前に、度数分布表を作っておくと良いでしょう。

度数分布表は以下のようになります。

問１の度数分布表

度数分布表は以下のようになる。

$\begin{align*} \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c} {\scriptsize{\text{冊数}}} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & {\scriptsize{\text{計}}} \\ \hline {\scriptsize{\text{度数}}} & 1 & 2 & 3 & 2 & 2 & 1 & 1 & 12 \end{array} \end{align*}$

この度数分布表も利用しながら問題を解きます。問１(1)は、平均値を求める問題です。平均値は公式を利用して求めます。

データの平均値

$\begin{align*} \scriptsize{ \quad \text{データの平均値} = \frac{\text{データの値の総和}}{\text{データの大きさ}} } \end{align*}$

公式に値を代入して平均値を求めます。

問１(1)の解答例

データの値の総和は

$\begin{align*} &\quad 3+2+6+0+4+1 \\[ 7pt ] &\qquad +5+2+4+1+3+2 = 33 \end{align*}$

となるので

$\begin{align*} \quad \frac{33}{12} = 2.75 \end{align*}$

よって、平均値は

$\begin{align*} \quad 2.75 \quad \text{（冊）} \end{align*}$

データの値の総和を求めるとき、すべての値を足しましたが、度数分布表を利用すると負担を減らせます。

度数分布表に冊数と度数の積を追記すると、値の総和を求めやすくなります。

問１(1)の別解例

度数分布表より

$\begin{align*} \quad \frac{33}{12} = 2.75 \end{align*}$

よって、平均値は

$\begin{align*} \quad 2.75 \quad \text{（冊）} \end{align*}$

データの分析の単元では、図表を上手に利用しましょう。

問１(2)の解答・解説

問１(2)は、中央値を求める問題です。データを値の大きさの順に並べ替える必要がありますが、すでに度数分布表があるので、それを利用します。

データの大きさは１２なので偶数です。ですから、６番目と７番目の値の平均値が中央値になります。

中央値を求めるとき、度数分布表に累積度数を追記しておくと求めやすくなります。

累積度数は、その名の通り、度数を累積したもので、データの値の小さい方から順に度数を足し算して求めます。累積度数の最後は必ず度数の合計と等しくなります。

度数分布表に累積度数を追記する

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c} {\scriptsize{\text{冊数}}} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & {\scriptsize{\text{計}}} \\ \hline {\scriptsize{\text{度数}}} & 1 & 2 & 3 & 2 & 2 & 1 & 1 & 12 \\ \hline {\scriptsize{\text{累積度数}}} & 1 & 3 & 6 & 8 & 10 & 11 & 12 & – \end{array}$

２冊までの累積度数が６で、３冊までの累積度数が８です。このことから６番目のデータは２、７番目のデータは３であることが分かります。

中央の２つの値が分かったので、中央値を求めます。

問１(2)の解答例

中央の $2$ つの値は、 $2 \ , \ 3$ であるので

$\begin{align*} \quad \frac{2+3}{2} = 2.5 \end{align*}$

よって、中央値は

$\begin{align*} \quad 2.5 \quad \text{（冊）} \end{align*}$

問１(3)の解答・解説

問１(3)は、最頻値を求める問題です。度数分布表を利用すると、度数の大きい冊数が分かります。

問１(3)の解答例

度数分布表から、最頻値は $2$ （冊）

度数分布表はデータを整理した表ですが、上手に利用できなければまとめた意味がありません。表の上手な使い方を自分なりにマスターしておきましょう。

同じ値が出てくるデータでは、度数分布表を上手に利用しよう。

次の問題を解いてみましょう。

問２

$6$ 個の自然数のデータ

$\begin{align*} \quad \quad 2 \ , \ 3 \ , \ 3 \ , \ 6 \ , \ 8 \ , \ x \end{align*}$

について、次の各問に答えよ。

$(1)$ 平均値が $4$ となる $x$ の値を求めよ。

$(2)$ 中央値が $4$ となる $x$ の値を求めよ。

問２(1)の解答・解説

問２も、データの代表値である平均値や中央値を求める問題ですが、少し難しく感じるかもしれません。

特に、問２(2)のように思考力を必要とする問題は、出題されやすく、差が付きやすいので、しっかり解けるようにしておきましょう。

問２(1)は、平均値を扱った問題なので、公式を利用すれば解けそうだと予想できます。公式を利用すると、ｘについての方程式を導出することができます。

問２(1)の解答例

データの値の総和は

$\begin{align*} \quad 2+3+3+6+8+x = 22+x \end{align*}$

となる。

平均値が $4$ となるので

$\begin{align*} \quad \frac{22+x}{6} = 4 \end{align*}$

これを解くと

$\begin{align*} \quad x = 2 \end{align*}$

文字の値を求める問題では、公式や条件から求める文字についての方程式を導出しましょう。

問２(2)の解答・解説

問２(2)は、中央値を扱った問題です。

データの大きさが６で偶数なので、中央の２つの自然数が中央値となります。中央の２つの自然数は、小さい方から数えて３番目と４番目の自然数です。

ここで注意したいのは、中央の２つの自然数がｘの値によって変わることです。ｘの値を具体的に考えて、３番目と４番目の自然数が何になるのかを調べてみましょう。

中央値を調べる

$6$ 個の自然数のデータ

$\begin{align*} \quad 2 \ , \ 3 \ , \ 3 \ , \ 6 \ , \ 8 \ , \ x \end{align*}$

について

$x=1$ のとき

$\begin{align*} \quad 1 \ , \ 2 \ , \ \underline{3} \ , \ \underline{3} \ , \ 6 \ , \ 8 \end{align*}$

$x=2$ のとき

$\begin{align*} \quad 2 \ , \ 2 \ , \ \underline{3} \ , \ \underline{3} \ , \ 6 \ , \ 8 \end{align*}$

$x=3$ のとき

$\begin{align*} \quad 2 \ , \ 3 \ , \ \underline{3} \ , \ \underline{3} \ , \ 6 \ , \ 8 \end{align*}$

$x=4$ のとき

$\begin{align*} \quad 2 \ , \ 3 \ , \ \underline{3} \ , \ \underline{4} \ , \ 6 \ , \ 8 \end{align*}$

$x=5$ のとき

$\begin{align*} \quad 2 \ , \ 3 \ , \ \underline{3} \ , \ \underline{5} \ , \ 6 \ , \ 8 \end{align*}$

$x=6$ のとき

$\begin{align*} \quad 2 \ , \ 3 \ , \ \underline{3} \ , \ \underline{6} \ , \ 6 \ , \ 8 \end{align*}$

$x=7$ のとき

$\begin{align*} \quad 2 \ , \ 3 \ , \ \underline{3} \ , \ \underline{6} \ , \ 7 \ , \ 8 \end{align*}$

$x=8$ のとき

$\begin{align*} \quad 2 \ , \ 3 \ , \ \underline{3} \ , \ \underline{6} \ , \ 8 \ , \ 8 \end{align*}$

調べた結果、中央の２つの自然数にｘが含まれる場合とそうでない場合とがあることが分かります。整理すると以下のようになります。

ｘ＝１，２，３のとき、中央の２つはともに３（ｘ以外の自然数）
ｘ＝４，５のとき、中央の２つは３とｘ
ｘ＝６，７，…… のとき、中央の２つは３と６（ｘ以外の自然数）

これをもとにｘの値について場合分けして、中央値が４となるｘの値を求めます。

問２(2)の解答例

$1 \leqq x \leqq 3$ のとき

$\quad$ 中央の $2$ つの自然数はともに $3$ であるので

$\quad$ 中央値は $3$ となり、 $4$ とならないので不適。

$4 \leqq x \leqq 5$ のとき

$\quad$ 中央の $2$ つの自然数は $3$ と $x$ となる。

$\quad$ 中央値は $4$ となれば良いので

$\begin{align*} \qquad \frac{3+x}{2} = 4 \end{align*}$

$\quad$ より

$\begin{align*} \qquad x = 5 \end{align*}$

$\quad$ これは $4 \leqq x \leqq 5$ を満たす。

$6 \leqq x$ のとき

$\quad$ 中央の $2$ つの自然数は $3$ と $6$ となるので

$\quad$ 中央値は

$\begin{align*} \qquad \frac{3+6}{2} = 4.5 \end{align*}$

$\quad$ となり、 $4$ とならないので不適。

よって、求める自然数 $x$ は

$\begin{align*} \quad x = 5 \end{align*}$

問２(2)のような問題は、解ける人と解けない人がはっきりするので、入試でも出題されやすい問題です。

最初から上手く解こうと考えずに、具体的な数値を使って調べることから始めましょう。解くきっかけさえ得られれば、それほど難しくありません。

具体的な数値を使って規則性を調べよう。抽象的でイメージが湧かないときは、具体化して考えよう。

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