中学数学|正負の数の四則混合算を解いてみよう

06/28/2016中学数学正負の数,加減算,四則計算,累乗,乗除算

四則計算の優先順位を理解する

第3問の解答・解説

\begin{equation*}
3.\quad 45 \div { \left( -3 \right) }^{ 2 }
\end{equation*}

単項式か多項式か

式を左から順に見ていくと、$45 \ , \ \div \ , \ { \left( -3 \right) }^{ 2 }$ の順に並び、除算の計算記号があります。式全体では、$45$ と $\left( -3 \right)$ の累乗の除算なので、単項式と見ることができます。

除算を行いたいところですが、累乗は乗算を表すので、$\left( -3 \right)$ の累乗を優先的に処理します。なぜなら、先に処理しておかないと、後の計算で符号の規則性を利用することができないからです。

実質的には、以下のように累乗は乗算をカッコでくくった式だと考えると分かりやすいと思います。

\begin{align*}
3.\quad &45 \div { \left( -3 \right) }^{ 2 } \\[ 5pt ]
= \ &45 \div \{ \left( -3 \right) \times \left( -3 \right) \}
\end{align*}

3つの数の乗除算になっていますが、波カッコ内の計算(累乗の計算)を優先してから除算します。

カッコ内、累乗、乗除算、加減算の順に。

観察結果をもとに方針を立てる

式を観察した結果をまとめると、以下のようになります。

  • 式全体で見ると、計算記号から除算で表される単項式。
  • 乗算を表す $\left( -3 \right)$ の累乗がある。

観察結果をもとに計算の方針を立てます。

  1. $\left( -3 \right)$ の累乗の計算
  2. $45$ と累乗した積との除算

式全体の除算よりも累乗の計算を優先するのがポイントです。

なお、式全体の解釈は「$45$ を $\left( -3 \right)$ の累乗で除算する」です。先に$45$ を $\left( -3 \right)$ で除算しないように気を付けましょう。

解答例は以下のようになります。

式全体が単項式になっているが、累乗を含む四則混合算

第4問の解答・解説

\begin{equation*}
4.\quad 4\div 7\times \left( 6-7 \right)
\end{equation*}

単項式か多項式か

式を左から順に見ていくと、$4 \ , \ \div \ , \ 7 \ , \ \times \ , \ \left( 6-7 \right)$ と並び、そしてカッコ内が $6-7$ となっています。カッコ内の数式を1つのかたまりと考えると、$4 \div 7 \times ( \text{かたまり} )$ となります。

式全体は乗除算なので単項式です。また、カッコ内は $6$ と $-7$ の和で表される多項式です。多項式よりも単項式を優先したい、つまり乗除算を優先したいところですが、カッコ内の計算を優先するので、カッコ内を先に処理して後で乗除算します。

観察結果をもとに方針を立てる

式を観察した結果をまとめると、以下のようになります。

  • カッコを1つのかたまりと考えると、式全体では計算記号から乗除算。
  • カッコ内は、$6$ と $-7$ の和で表される多項式。

観察結果をもとに計算の方針を立てます。

  1. カッコ内の $6$ と $-7$ の加算
  2. $4$ 、$7$、 加算後の和の3つで乗除算

解答例は以下のようになります。

式全体が単項式だが、カッコを含む四則混合算

カッコ内の加算は異符号の数の加算です。符号と数字を分けて計算します。

参考 中学数学|正負の数の加減算について

カッコ内の加算が終わると、式全体の乗除算になります。乗除算は乗算に統一して計算するのが基本です。乗除算でも符号と数字を分けて計算します。

「慣れたらこちらで」のように、乗除算を1つの分数に丸ごと置き換えることもできます。これができると計算のスピードが上がります。

参考 中学数学|正負の数の乗除算を解いてみよう (除算を丸ごと分数にする方法について)

さいごに、もう一度まとめ

  • 式をよく観察しよう。
  • 単項式と多項式を区別する。
  • カッコ内の計算と累乗の計算を優先する。
  • 加減算(多項式)よりも乗除算(単項式)を優先する。