図形と計量|正弦定理と余弦定理を扱った問題を解いてみよう

数学1

正弦定理や余弦定理を扱った問題を解いてみよう

今回は、正弦定理や余弦定理を扱った問題を実際に解いてみましょう。

定理や公式は覚えるだけでなく、その使い方をマスターしなければ問題を解くことはできません。定理や公式は使ってこそです。

どんな条件のときに定理や公式を利用できるのか、しっかり把握することが大切です。覚えたくらいで満足しないようにしましょう。

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正弦定理や余弦定理を扱った問題を解いてみよう

基礎レベルの問題であれば、「正弦定理」などとタイトルが付いてることがあります。それが原因で、ネタが割れた状態で解くことになります。

基礎レベルの問題では、学習したことの使い方や問題のパターンを知ることが目的なので、使うネタが分かっているのは当然です。

ただ、問題のレベルが上がってくると、その辺りが巧妙に隠されています。そうなると、何を使えば良いか分かり辛くなってきます。

しかし、演習を重ねていくと、頭の中が整理されてきます。そこまで習熟度が上がると、問題文を読んだとき「あのパターンだな」と分かるようになります。

自分なりに問題をパターン化しておき、そのような問題では悩まずに秒殺しつつ、思考力や応用力を問われるような問題(楽しみたい問題)に時間を使えるようにしましょう。

正弦定理の使い方

問題を解く前に正弦定理の式を思い出してみましょう。

正弦定理

$\triangle ABC$ の外接円の半径を $R$ とすると

\begin{align*} \quad \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \end{align*}

正弦定理の式は、一般に、4つの数量が等しいことを1つの等式にまとめて表します。ただし、実際に利用するとなると、2つの数量を選んで方程式を作ります。このとき、方程式の作り方には2パターンあります。

1つ目のパターンは、外接円の半径、角の大きさ、辺の長さの3つのうちどれかを求める使い方です。

角と辺は、対角と対辺の関係にあります。最も多く使われるのは、外接円の半径を求めるときです。

正弦定理の使い方パターン1

\begin{align*} &\quad \frac{a}{\sin A} = 2R \\[ 7pt ] &\quad \frac{b}{\sin B} = 2R \\[ 7pt ] &\quad \frac{c}{\sin C} = 2R \end{align*}

2つ目のパターンは、対角と対辺の関係にある2組から、角の大きさまたは辺の長さを求める使い方です。角が2つと辺が2つ使われた式なので、3つの数量が予め分かっていなければなりません。

正弦定理の使い方パターン2

\begin{align*} &\quad \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \\[ 7pt ] &\quad \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \\[ 7pt ] &\quad \frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin A} \end{align*}

どちらの使い方であっても、対角と対辺の関係に注目することが大切です。

正弦定理の使い方を整理できたところで、次の問題を解いてみましょう。

正弦定理を扱った問題を解いてみよう

正弦定理を扱った問題
問1

問1(1)の解答・解説

問1(1)

$\triangle ABC$ において、次の値を求めよ。

\begin{align*} \quad b=6 \ , \ A=45^{\circ} \ , \ B=30^{\circ} \end{align*}

のとき $a$

問題をよく観察しつつ、作図してみましょう。図形の問題なので、作図すると角や辺の関係を把握しやすくなります。ただし、辺や角の大小関係に気を付けましょう。

与えられた条件をもとに作図します。

b,Bは対角と対辺の関係にある辺と角です。また、Aは、 求めたいaの対角です。

与えられた条件から、正弦定理のパターン2を利用します。

正弦定理を扱った問題第1問
問1(1)の図

公式を早く覚えるためにも、1行目にそのまま公式を書きます。求めたいaについて等式を変形してから、与えられた値を代入します。

問1(1)の解答例

正弦定理より

\begin{align*} \quad \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \end{align*}

より

\begin{align*} \quad a=\frac{b \sin A}{\sin B} \end{align*}

$b=6 \ , \ A=45^{\circ} \ , \ B=30^{\circ}$ より

\begin{align*} \quad a &=\frac{6 \sin 45^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} \\[ 7pt ] &= \frac{6 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{2}} \\[ 7pt ] &= \frac{6 \cdot 2}{\sqrt{2}} \\[ 7pt ] &= 6 \sqrt{2} \end{align*}
正弦定理を扱った問題第1問
問1(1)の図

値を代入するのは、aについて変形する前でも構いません。とにかく計算ミスの少ないやり方を自分なりに見つけましょう。

問1(1)のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。

正弦定理を扱った問題第1問の解答例
問1(1)のポイントと解答例

学習したてだと、公式を完全に覚えていない。問題を解くとき、①公式を書く、②その文字に対応する数を代入するの順に解いていくと、公式を使いながら覚えられる。文字と数の対応関係も分かるので、公式の使い方を要領よくマスターできる。

分数の中に分数がある計算

正弦定理を使った計算では、三角比が分数なので、分数の中に分数がある計算が出てきます。

仕組みを知っておくと、ちょっとしたコツで簡単に変形できるようになります。例を挙げて計算の仕組みを考えてみましょう。

分母に分数があるときを考えます。分母の分数は割る数になるので、分数を割り算に置き換えることができます。分数の割り算では、割る数の逆数をとって掛け算します。

分母に分数があるとき

\begin{align*} \quad \frac{3}{\frac{2}{5}} &= 3 \div \frac{2}{5} \\[ 10pt ] &= 3 \times \frac{5}{2} \\[ 10pt ] &= \frac{3 \times 5}{2} \\[ 10pt ] \therefore \ \frac{3}{\frac{2}{5}} &= \frac{3 \times 5}{2} \end{align*}

計算過程から分かるように、分母に分数があるとき、分母の分数の逆数を取ります。その結果、分母の分数がひっくり返ったような分数になっています。

このことを知っていれば、わざわざ割り算に戻したり、逆数を取ったりする手間を掛けずに済みます。

分母にある分数はひっくり返せ。割り算に戻したり、分母と分子に数を掛けたりする必要なし。

問1(2)の解答・解説

問1(2)

$\triangle ABC$ において、次の値を求めよ。

\begin{align*} \quad a=2\sqrt{6} \ , \ A=120^{\circ} \end{align*}

のとき、外接円の半径 $R$

問1(2)では、外接円の半径という文言があるので、正弦定理のパターン1を利用する問題です。対角と対辺の関係にある角と辺が与えられています。

与えられた条件をもとに作図します。

a,Aは対角と対辺の関係にある辺と角です。求めたいのは、△ABCの外接円の半径Rです。

与えられた条件から、正弦定理のパターン1を利用します。

正弦定理を扱った問題第2問
問1(2)の図

1行目にそのまま公式を書きます。求めたいRについて等式を変形してから、与えられた値を代入します。

問1(2)の解答例

正弦定理より

\begin{align*} \quad 2R = \frac{a}{\sin A} \end{align*}

より

\begin{align*} \quad R=\frac{a}{2\sin B} \end{align*}

$a=2\sqrt{6} \ , \ A=120^{\circ}$ より

\begin{align*} \quad R &=\frac{2\sqrt{6}}{2\sin 120^{\circ}} \\[ 7pt ] &= \frac{2\sqrt{6}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} \\[ 7pt ] &= \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{3}} \\[ 7pt ] &= 2\sqrt{2} \end{align*}
正弦定理を扱った問題第2問
問1(2)の図

立式できたら、ミスのないように計算します。ここでも、分数の分母に分数が出てきます。ただし、解答例のように、等式を変形した後に値を代入すると、分数をひっくり返す作業が不要になります。

問1(2)のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。

正弦定理を扱った問題第2問の解答例
問1(2)のポイントと解答例

分数の中に分数がある計算は、意外と頻繁に出てきます。扱いに慣れておきましょう。

次に、余弦定理を扱った問題を解いてみましょう。