数と式｜整式の言い方や表し方について

12/25/2021数学１

今回は、整式についてもう少し掘り下げます。

整式は特定の情報に着目すると、その言い方や表し方が変わってしまいます。ですから、着目の仕方によって他人よりも多くの情報を得ることができます。

1. 整式の言い方は着目するもので異なる
2. 整式の次数や文字に着目
3. 多項式のときは慎重に
- 3.1. 多項式で特定の文字に着目する
4. 整式の表し方
5. Recommended books
- 5.1. オススメ－『高校入試「解き方」が身につく問題集』シリーズ
6. さいごにもう一度まとめ

整式の言い方は着目するもので異なる

整式は何に着目するかで、その言い方が異なります。

たとえば、積や和に着目した場合、整式は単項式や多項式などと言われます。また、整式の次数に着目した場合、単項式や多項式の区別なく「～次式」と言います。

同じ整式であっても、着目するものが変われば言い方も変わるので注意しましょう。

整式の次数や文字に着目

２つの単項式を考えます。

単項式の一例

\begin{align} &\frac{1}{5} a \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &5xy^{2} \quad \cdots \text{②} \end{align}

単項式は数や文字の積だけで表され、単項式を１つのかたまりとして扱います。

次数に注目したときの分かること・分からないこと

次数は、掛け合わされた文字の個数です。例に挙げた単項式（①，②式）の次数を調べると、以下の通りです。

単項式の次数

\begin{align} &\frac{1}{5} a \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &5xy^{2} \quad \cdots \text{②} \end{align}

①式の次数… $1$

②式の次数… $3$

次数に着目した場合、①式を１次式、②式を３次式と言います。

整式を実際に見なければ、文字が何種類あるのか不明です。また、単項式か多項式かの区別もつきません。「～次式」という言い方では次数に関する情報しか得られません。

次数に着目するとき、注意したいのは複数の文字を含む単項式や項があるときです。

複数の文字を含む単項式や項

\begin{align} &5xy^{2} \\[ 7pt ] = \ &5 \times x \times y \times y \end{align}

例に挙げた３次式には、３個の文字（ｘが１個とｙが２個）があります。これらが掛け合わされて単項式ができています。

ただ単に次数だけを知りたいのであれば、３次式と言うだけで足ります。しかし、３個の文字が同じ種類なのか異なる種類なのかまでは分かりません。

つまり「～次式」という名称では、文字の種類までは判別できません。

「～次式」の言い方で分かること・分からないこと

文字の個数が分かる。多項式なら最高次数の項の文字の個数が分かる。
文字が何種類あるのか分からない。
多項式なら項の個数は分からない。

特定の文字に着目したときの分かること・分からないこと

そこで、特定の文字に着目した言い方があります。この言い方であれば、整式のより詳しい情報を知ることができます。

特定の文字に着目する

\begin{align} 5xy^{2} \quad \cdots \text{②} \end{align}

について、$x$ に着目すると

\begin{align} 5xy^{2}=5y^{2} \textcolor{red}{ \underline{{\textcolor{black}{x}}} } \end{align}

より、②式を $x$ についての $1$ 次式と言う。

また、$y$ に着目すると

\begin{align} 5x \textcolor{red}{ \underline{{\textcolor{black}{y^{2}}}} } \end{align}

より、②式を $y$ についての $2$ 次式と言う。

文字ｘに着目した場合、文字ｘは１個なので、この整式を「ｘについての１次式」と言います。それに対して、文字ｙに着目した場合、文字ｙは２個なので、この整式を「ｙについての２次式」と言います。

同じ３次式を見ていたはずですが、特定の文字に注目すると、整式の言い表し方が変わってしまいます。

単項式か多項式かを知ることはできませんが、注目した文字の個数を知ることができます。

特定の文字に注目した言い表し方の分かること・分からないこと

特定の文字の個数が分かる。多項式なら特定の文字の最高次数が分かる。
文字が何種類あるかは分からない。
多項式なら項の個数は分からない。

特定の文字に注目したことが分かるように、「ｘについての」や「ｙについての」という文言を忘れない。

着目しない文字の扱い

特定の文字に着目する場合、着目しない文字の扱いに注意する必要があります。この場合、着目しない文字を数と同じように扱います。

たとえば、文字ｘについて着目していれば、ｙは数と同じ扱いをします。

このときに何が変わるかというと、係数が変わってきます。

特定の文字に着目すると、他の文字は数扱い

$5xy^{2}$ を $x$ についての整式と考えると

\begin{align} 5 \textcolor{red}{ \underline{{\textcolor{black}{x}}} } y^{2} = 5y^{2} \textcolor{red}{ \underline{{\textcolor{black}{x}}} } \end{align}

より、係数は $5y^{2}$

また、$5xy^{2}$ を $y$ についての整式と考えると

\begin{align} 5x \textcolor{red}{ \underline{{\textcolor{black}{y^{2}}}} } \end{align}

より、係数は $5x$

文字ｘに着目した場合、文字ｙを数と同じように扱います。このとき、着目した文字ｘを項の一番後ろに配置すると、係数である５ｙ²が分かりやすくなります。

また、文字ｙに着目した場合、文字ｘを数と同じように扱います。このときの係数は５ｘです。

特定の文字に着目するメリットは、式の扱いやすさです。このことは、のちに学習する整式の展開や因数分解のときに分かります。

特定の文字に着目する場合、着目しない文字は係数の一部になる。慣れないうちは間違えやすいので、注目する文字に下線を引くなどして区別しよう。ミスを減らせる。

多項式のときは慎重に

整式が多項式のとき、単項式よりも慎重に扱う必要があります。たとえば、以下の整式を考えます。

多項式の一例

\begin{align} 4x^{2}+2xy-5x+3 \end{align}

この多項式には、文字を含む項が３つ、定数項が１つあります。最高次数は１，２番目の項の次数で、それぞれ２です。ですから、この整式は２次式です。

しかし、２次式と言われただけでは文字が２個あるのは分かっても、文字の種類や項の数までは分かりません。

多項式で特定の文字に着目する

この多項式でも特定の文字に着目して考えてみます。単項式のときよりも利点が分かるかもしれません。

文字ｘに着目した場合

文字ｘについて着目して、整式を整理します。

文字ｘに着目する

\begin{align} 4x^{2}+2xy-5x+3 \end{align}

を $x$ についての多項式と考えると

\begin{align} &4\textcolor{red}{ \underline{{\textcolor{black}{x^{2}}}} }+2 \textcolor{red}{ \underline{{\textcolor{black}{x}}} }y-5 \textcolor{red}{ \underline{{\textcolor{black}{x}}} }+3 \\[ 7pt ] = \ &4\textcolor{red}{ \underline{{\textcolor{black}{x^{2}}}} }+2y \textcolor{red}{ \underline{{\textcolor{black}{x}}} }-5 \textcolor{red}{ \underline{{\textcolor{black}{x}}} }+3 \end{align}

１番目の項に文字ｘが２個あるので、この項の次数が最高次数です。与式はｘについての２次式です。

他にｘ以外の文字があったとしても、多項式の最高次数の項にｘが２個あることは確実です。

２番目の項には文字ｙが含まれますが、この項でもｘだけが文字扱いで、ｙは数扱いです。ｘに着目したので、この項の係数は２ｙで、次数は１になります。

３番目の項も次数が１です。ですから、ｘに着目したとき、２番目と３番目の項は同類項になります。同類項であれば、１つの項にまとめることができます。

文字ｘに着目して同類項をまとめる

$x$ に着目したとき、同類項があるので整理すると

同類項を１つの項にまとめるには、分配法則の逆を利用します。展開ではなく、共通因数でくくります。

同類項を整理すると、項が４つから３つに減ります。おかげでもとの式よりもすっきり見えます。

特定の文字に着目すると項の数を減らせる

\begin{align} 4x^{2}+2xy-5x+3 \end{align}

与式を $x$ についての整式と考えると

\begin{align} &4x^{2}+2xy-5x+3 \\[ 7pt ] = \ &4x^{2}+\left(2y-5 \right) x+3 \end{align}

このとき、項の数は

\begin{align} 4x^{2} \ / \ +\left(2y-5 \right) x \ / \ +3 \end{align}

より、$3$ 個

多項式を扱うとき、項の数が少ないのは歓迎すべきことです。

また、注目した文字について降べきの順に並べると、多項式を見やすくなります。式の判読性が上がれば、扱いやすさも格段に変わります。

多項式において特定の文字に着目する利点

特定の文字について、整理する（降べきの順に並べる）ことができる。
同類項があれば、項の数を減らせる。

整式の表し方

今後、複数の種類の文字を含む整式を扱うことが多くなります。

その際に、特定の文字に着目し、同類項をまとめたり、降べきの順に並べたりして整式を整理します。少しでも扱いやすくするためです。

降べきの順に並べるのは、特定の文字に着目しなくても行うのが一般的。暗黙のルールなので習慣にしておこう。

ここで学習した内容は、高校数学では特に指示がなくても行います。教科書や参考書などでもこのような記載が一般的です。

特に、これから学習する展開や因数分解の単元では必修なので、ここでマスターしておくとスムーズに取り組めるでしょう。整式、特に多項式を見たら、とにかく特定の文字に着目して式を整理しましょう。

Recommended books

紹介するのは、高校数学の授業についていけずに焦っている人向けの教材です。授業についていけない原因は色々と考えられますが、その中でも中学で学習した内容を理解していないことが大半を占めているかもしれません。

高校１年生の場合、数学の内容はほとんどが中学の応用みたいなものです。ですから、予習が進まない、授業についていけない、などがあれば、中学の学習内容を確認することをお勧めします。確認すれば分かりますが、意外と理解していなかったことに気付くはずです。

高校２，３年生にとっては、今さら中学の復習なんかやってられないと思うかもしれません。しかし、理解できない箇所が出てくれば、嫌でも前の単元に戻らなければなりません。そうやって単元をさかのぼっていくと、結局、中学内容に行き着くことも少なくありません。

特に、苦手科目については効果的だと思います。高校での学習に行き詰っている人は、変なこだわりを捨てて、中学内容まで戻ってみると良いでしょう。案外、もっと早く取り組んでいれば良かったと思うかもしれません。

オススメ－『高校入試「解き方」が身につく問題集』シリーズ

学習内容の理解の深度を知るには、問題を解くことが一番分かりやすいです。レベル別に問題を解けば、理解度をより詳細に知ることができるでしょう。このことは、中学内容だろうと高校内容だろうと変わりません。

『高校入試「解き方」が身につく問題集』シリーズは、高校入試対策用の問題集になりますが、頻出の問題を扱っているので、重要事項やその使い方を効率良く確認することができます。

高校入試「解き方」が身につく問題集シリーズ

入試レベルなので応用的な問題が多いですが、高校の授業についていくにはそのくらいの理解度が必要です。つまり、高校数学についていけないとすれば、中学数学の応用レベルに達していない箇所が足枷になっている可能性が高いです。

目安としては、高校入試レベルの問題が８割以上解けることを目標にすると良いでしょう。８割取れるようになれば、高校の学習において、多少の躓きはあっても遅れを取ることは少ないでしょう。

「暗記では解けない問題の解き方」を身につける！
★「出題頻度が高い」＆「解き方にコツがある」問題をマスターして得点アップ！
公立高校入試の問題は、難度の幅が広く、暗記で解ける問題と解き方（考え方）が必要な問題があります。一部の問題は演習量よりも、解き方を押さえてから演習したほうが効率的に点数を上げることができます。本書で選んだ問題をマスターすることで、入試の得点アップにつながります。
★徹底的に「解き方」に焦点を当てた解説！
「例題」「解き方チェック問題」「実践問題の解答解説」のすべてで「解き方」のチェックポイントに沿った解説をしています。