数学の公式・定理集｜図形と方程式
図形と方程式：１．点と直線
点の座標
点 $A ( \ x_{1} \ , \ y_{1} \ ) \ , \ B ( \ x_{2} \ , \ y_{2} \ ) \ , \ C ( \ x_{3} \ , \ y_{3} \ )$ とする。
２点間の距離
特に、原点 O と A の距離は
\begin{align*} \quad OA = \sqrt{ { x_{1} }^{2} + { y_{1} }^{2} } \end{align*}内分点・外分点
線分 AB を m：n に分ける点の座標
内分点
\begin{align*} \quad \left( \ \frac{nx_{1} + mx_{2}}{m+n} \ , \ \frac{ ny_{1} + my_{2}}{m+n} \ \right) \end{align*}外分点
\begin{align*} \quad \left( \ \frac{ -nx_{1} + mx_{2}}{m – n} \ , \ \frac{ -ny_{1} + my_{2}}{m – n} \ \right) \end{align*}重心の座標
△ABC の重心の座標
\begin{align*} \quad \left( \ \frac{ x_{1} + x_{2} + x_{3}}{3} \ , \ \frac{ y_{1} + y_{2} + y_{3}}{3} \ \right) \end{align*}直線
直線の方程式
点 $( \ x_{1} \ , \ y_{1} \ )$ を通り、傾きが $m$ の直線の方程式
\begin{align*} \quad y \ – y_{1} = m \ ( x \ – x_{1} ) \end{align*}異なる２点 $( \ x_{1} \ , \ y_{1} \ ) \ , \ ( \ x_{2} \ , \ y_{2} \ )$ を通る直線の方程式
\begin{align*} \bullet \ &x_{1} \neq x_{2} \ \text{のとき} \\[ 7pt ] &\quad y \ – y_{1} = \frac{ y_{2} \ – y_{1} }{ x_{2} \ – x_{1} } \ ( x \ – x_{1} ) \\[ 10pt ] \bullet \ &x_{1} = x_{2} \ \text{のとき} \\[ 7pt ] &\quad x = x_{1} \end{align*}この2式をまとめると
\begin{align*} \quad ( y_{2} \ – y_{1} ) ( x \ – x_{1} ) \ – ( x_{2} \ – x_{1} ) ( y \ – y_{1} ) = 0 \end{align*}２直線の関係
交わる：$m_{1} \neq m_{2}$
平行 ：$m_{1} = m_{2}$
垂直 ：$m_{1} \ m_{2} = -1$
（注意）一致は平行に含める。
交わる：$a_{1} \ b_{2} \ – a_{2} \ b_{1} \neq 0$
平行 ：$a_{1} \ b_{2} \ – a_{2} \ b_{1} = 0$
垂直 ：$a_{1} \ a_{2} \ + b_{1} \ b_{2} = 0$
（注意）一致は平行に含める。
点と直線の距離
直線 $ax + by + c = 0$ と点 $( \ x_{1} \ , \ y_{1} \ )$ の距離 $d$
\begin{align*} \quad d = \frac{ \left| \ a x_{1} + b y_{1} + c \ \right| }{\sqrt{ a^{2} + b^{2} }} \end{align*}三角形の面積
３点 $O ( \ 0 \ , \ 0 \ ) \ , \ A ( \ x_{1} \ , \ y_{1} \ ) \ , \ B ( \ x_{2} \ , \ y_{2} \ )$ を頂点とする△OAB の面積 $S$
\begin{align*} \quad S = \frac{1}{2} \left| \ x_{1} y_{2} \ – x_{2} y_{1} \ \right| \end{align*}図形と方程式：２．円
円
円の方程式
点 $( \ a \ , \ b \ )$ を中心とし、半径が $r$ の円の方程式
\begin{align*} \quad { ( x \ – a )}^{2} + { ( y \ – b )}^{2} = r^{2} \end{align*}特に、原点 O が中心の場合
\begin{align*} \quad x^{2} + y^{2} = r^{2} \end{align*}円の方程式の一般形
\begin{align*} \quad x^{2} + y^{2} + lx + my + n = 0 \end{align*}ただし
\begin{align*} \quad l^{2} + m^{2} – 4n \gt 0 \end{align*}円の接線
円 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ の点 $( \ x_{1} \ , \ y_{1} \ )$ における接線の方程式
\begin{align*} \quad x_{1} x + y_{1} y = r^{2} \end{align*}図形と方程式：３．軌跡と領域
軌跡と方程式
対称移動
- 点対称：点 A に関して、点 P と点 Q が対称
- ⇔ 線分 PQ の中点が A
- 線対称：直線ℓに関して、点 P と点 Q が対称
- ⇔ ① PQ⊥ℓ，② 線分 PQ の中点がℓ上にある
不等式の表す領域
不等式と領域
- $y \gt f(x)$ のとき
- … 曲線 $y = f(x)$ の上側の部分
- $y \lt f(x)$ のとき
- … 曲線 $y = f(x)$ の下側の部分
- $x^{2} + y^{2} \lt r^{2}$ のとき
- … 円 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ の内部
- $x^{2} + y^{2} \gt r^{2}$ のとき
- … 円 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ の外部
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