集合と論理｜逆、裏、対偶について

11/27/2021数学１

逆、裏、対偶を扱った問題を解いてみよう

次の問題を考えてみましょう。

問１の解答・解説

問１

次の命題の逆、裏、対偶をつくり、それらの真偽を調べよ。

\begin{align*} \quad x \lt 0 \ \Rightarrow \ x \lt 2 \end{align*}

問１は、与えられた命題の逆、裏、対偶とその真偽を求める問題です。

命題の逆は、仮定と結論を入れ替えたものです。命題の裏は、仮定と結論をそれぞれ否定したものです。

命題の対偶は、逆の裏を求めるか、裏の逆を求めるかのどちらかで得られます。

図からも分かるように、対偶は必ず逆と裏を経てつくられます。

命題の逆、裏、対偶をつくると以下のようになります。

問１の解答例 1⃣

命題「 $x \lt 0 \ \Rightarrow \ x \lt 2$ 」の逆、裏、対偶を求めると

命題の逆「 $x \lt 2 \ \Rightarrow \ x \lt 0$ 」

命題の裏「 $x \geqq 0 \ \Rightarrow \ x \geqq 2$ 」

命題の対偶「 $x \geqq 2 \ \Rightarrow \ x \geqq 0$ 」

命題の逆、裏、対偶が分かったら、それぞれの真偽を調べます。仮定や結論が不等式で与えられています。このような場合、数直線を利用すると、真偽を簡単に調べることができます。

問１の解答例 2⃣

命題の逆「 $x \lt 2 \ \Rightarrow \ x \lt 0$ 」の真偽を調べると

$x \lt 2$ を満たす実数は、$x \lt 0$ を満たすとは限らない。

反例は $x=1$ のとき。

よって、命題の逆は偽である。

命題の裏「 $x \geqq 0 \ \Rightarrow \ x \geqq 2$ 」の真偽を調べると

$x \geqq 0$ を満たす実数は、$x \geqq 2$ を満たすとは限らない。

反例は $x=1$ のとき。

よって、命題の裏は偽である。

命題の対偶「 $x \geqq 2 \ \Rightarrow \ x \geqq 0$ 」の真偽を調べると

$x \geqq 2$ を満たす実数は、すべて $x \geqq 0$ を満たす。

よって、命題の対偶は真である。

問１のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。

命題の逆、裏、対偶は、十分条件や必要条件を扱った問題とも関係しています。

一般に、出題される問題では、命題の真偽がはっきりしません。ですから、まず命題の真偽を調べる必要があります。このとき、対偶を利用することがあります。そして、その真偽をもとに十分条件か必要条件かを吟味します。

問２の解答・解説

問２

次の命題を証明せよ。

整数 $n$ について、$n^{2}$ が偶数ならば、$n$ は偶数である。

問２は、与えられた命題を証明する問題です。もう少しことばを補うと、「与えられた命題が真である（＝正しい）ことを証明しなさい」という問題です。本質的には、命題の真偽を調べる問題と変わりません。

証明問題では、与えられた事柄が成り立つことは当たり前なので、この問題の命題が真であることは決まっています。

しかし、この命題の真偽を調べるのは少し面倒です。

仮定を見ると「ｎ²が偶数」とあります。基本通りにｎ²＝２ｋとおいてしまうと、変数ｎの値が無理数になります。ｎ²を上手に表せないと上手くいきそうにありません。

このようなとき、命題の対偶を利用します。与えられた命題の対偶を求めます。

問２の解答例 1⃣

命題「整数 $n$ について、$n^{2}$ が偶数ならば、$n$ は偶数である。」の対偶は

「整数 $n$ について、$n$ が奇数ならば、$n^{2}$ は奇数である。」

となる。

命題の対偶をつくると、仮定が「変数ｎが奇数」となります。これなら無理数が出てきません。

変数ｎを奇数であることが分かる式で表し、ｎ²に代入します。実際に計算し、結論が成り立つかを調べます。

問２の解答例 2⃣

対偶の真偽を調べる。

$n$ が奇数であるとき

\begin{align*} \quad n=2k+1 \end{align*}

とおく。ただし、$k$ は整数。

このとき

\begin{align*} \quad n^{2} &=\left(2k+1 \right)^{2} \\[ 7pt ] &=4k^{2}+4k+1 \\[ 7pt ] &=2\left(2k^{2}+2k \right)+1 \end{align*}

より、$n^{2}$ は奇数である。

よって、命題の対偶は成り立つ。

対偶が証明されたので、もとの命題も成り立つ。

命題とその対偶の真偽は一致することを利用して、もとの命題の真偽を間接的に判定します。

問２のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。

証明問題では、具体的な数を使わず、式で一般化して証明します。整数問題もセンター試験に出題されるようになりましたが、高校の授業では対策が充分ではないので、自分でしっかり準備しておくことが必要です。

偶数は２の倍数、奇数は（偶数±１）。ｋを整数とすると、偶数は２ｋ、奇数は２ｋ±１と表せる。

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