整数の性質｜約数と倍数について
今回から「整数の性質」の単元になります。まず学習するのは、約数と倍数についてです。
小中学校で学習した内容の続きになるので、忘れていないか確認しながら取り組みましょう。
約数と倍数、倍数の判定法、素数、素因数分解
この単元では、以下のような事柄を学習します。
この単元で学習する事柄
- 約数と倍数
- 倍数の判定法
- 素数
- 素因数分解
いずれもすでに学習している事柄ですが、これまでよりも応用的な内容となります。
約数と倍数
２つの整数ａ，ｂについて、ａがｂで割り切れるとき、ｂはａの約数、ａはｂの倍数と言います。
たとえば、２つの整数が１２，４であれば、１２が４で割り切れます。ですから、４は１２の約数、１２は４の倍数です。
一般化することは便利な反面、抽象的になるので説明をすぐに理解するのが難しくなるときがあります。そんなときは、具体化すると理解しやすくなります。
倍数の判定法
計算するときに意外と役に立つのが、倍数の判定法です。
割り切れるかどうかが分かるということは、倍数や約数の関係を見抜けるということです。このような知識を持っていると、分数を扱う機会が増える高校数学では重宝します。
一般に、以下のようにして倍数を判定します。
倍数の判定法
下○桁の数で判定する倍数
- ２の倍数 … 下１桁の数が偶数（０＝０×２より、０は２の倍数に含める）
- ５の倍数 … 下１桁の数が０または５
- ４の倍数 … 下２桁が４の倍数
- ８の倍数 … 下３桁が８の倍数
各位の和で判定する倍数
- ３の倍数 … 各位の和が３の倍数
- ９の倍数 … 各位の和が９の倍数
２つの条件で判定する倍数
- ６の倍数 … ２の倍数かつ３の倍数
倍数の判定法を利用して、与えられた自然数が何の倍数かを調べてみましょう。
例
$4$ 桁の自然数 $7128$ が何の倍数かを調べよ。
７１２８について、下○桁の数を調べると、以下のことが分かります。
７１２８について下○桁の数で分かること
- 下１桁の数８ … 偶数
- 下２桁の数２８ … ４の倍数
- 下３桁の数１２８ … ８の倍数
このことから、下○桁の数で判定すると、７１２８は２，４，８の倍数であることが分かります。
次に、各位の和を調べると、以下のことが分かります。
７１２８について各位の和で分かること
各位の和 ７＋１＋２＋８＝１８ … ３，９の倍数
このことから、各位の和で判定すると、７１２８は３，９の倍数であることが分かります。
また、７１２８は２の倍数、かつ３の倍数でもあるので、６の倍数です。
以上のことから、７１２８は２，３，４，６，８，９の倍数であり、２，３，４，６，８，９は、７１２８の約数であることが分かります。
倍数の判定ができるということは、その数がどんな約数（因数）をもつのかも判定できるということです。計算のあらゆる場面で役立つので、瞬時に判定できるようにしておきましょう。
おまけの判定法
他にも７，１１，１３などの倍数を判定する方法があります。全く知らない人もいるかもしれませんが、上記の判定法に比べて、やや手間が掛かるのであまり使われていないようです。
簡単に紹介しておきますが、上記の判定法をマスターしておけば十分に対応できます。余力があれば覚えておくと良いでしょう。
７，１１，１３の倍数の判定法
- ７の倍数：末位から左へ３桁ごとに区切り、最後の区画から奇数番目の区画の和から、偶数番目の区画の和を引いた差が７の倍数
- １１の倍数：末位から左へ向かって奇数番目の数の和から、偶数番目の数の和を引いた差が１１の倍数（各位の数を左から交互に足し引きしても良い）
- １３の倍数：７の倍数の判定法と同じ
具体例として、３１１２２が７，１１，１３の倍数であるかを調べてみましょう。
３１１２２が７，１１，１３の倍数であるか
ちなみに、７１２８は、７，１３の倍数ではありませんが、１１の倍数です。
７１２８は１１の倍数
実は、７の倍数の判定法は、これだけでなく他にもあります。ここで紹介したものは、１３の倍数の判定法と兼用できるので、覚えるのであればこの判定法が良いでしょう。
素数
素数とは、２以上の整数で、１とそれ自身以外の正の約数をもたない数のことです。少し大雑把な言い方をすると、正の約数を２個しかもたない数のことです。
１は素数ではない。１の正の約数は１のみ。
１００以下の素数は２５個存在します。これらを小さい順に並べると以下のようになります。
１００以下の素数
１００を超える素数については、オンライン整数列大辞典（On-Line Encyclopedia of Integer Sequences）というサイトにて無料で閲覧できます。
素数以外の整数列も検索できます。また、数列の名前に始まり、由来、参考文献、公式、キーワードなどの情報を一覧できるので興味のある人は覗いてみると良いでしょう。
素因数分解
素因数分解とは、自然数をいくつかの素数の積の形で表すことです。
自然数を素因数分解すると、いくつかの素数の積で表されます。このとき、素数は自然数の因数であるので素因数と言います。
たとえば、１２の約数は１，２，３，４，６，１２です。この約数のうち、素数は２，３なので、これらを用いて分解します。素数２，３のことを１２の素因数と言います。
１２の素因数分解
素因数分解するときは、大雑把に因数で分解し、さらに素因数で分解していくとやりやすいです。
約数が因数となる。また、因数のうち素数のものを素因数と言う。
知っておきたい平方数や自然数の累乗の値
約数を見つけるときや素因数分解をするとき、平方数や自然数の累乗の値を覚えておくと便利です。このような数を毎回筆算するようだと、解くスピードが遅くなってしまうので、できる限り覚えておきましょう。
平方数の場合、１６ぐらいまでは暗算できると良いでしょう。
平方数
２の累乗は全般的によく出てきます。２10までは覚えたいところです。覚える自信のない人でも、２5と２10だけでも確実に覚えましょう。
２の累乗
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} n & 1 & 2 & 3 & 4 & {\mathbf{5}} & 6 & 7 & 8 & 9 & {\mathbf{10}} \\[ 5pt ] \hline 2^{n} & 2 & 4 & 8 & 16 & {\mathbf{32}} & 64 & 128 & 256 & 512 & {\mathbf{1024}} \end{array}絶対に覚えておきたい２の累乗
\begin{align*} \quad 2^{\scriptsize{5}} &= 32 \\[ 7pt ] \quad 2^{\scriptsize{10}} &= 1024 \end{align*}３の累乗もよく出てきます。３3や３4は頻繁に出てきます。３5くらいまではサッと使えるようにしておきましょう。
３の累乗
５の累乗や６の累乗も覚えておくと便利です。たとえば、６3が出てくるのは、サイコロを３回、または３個振ったときの場合の数です。
５の累乗
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} n & 1 & 2 & {\mathbf{3}} & 4 & 5 \\[ 5pt ] \hline 5^{n} & 5 & 25 & {\mathbf{125}} & 625 & 3125 \end{array}６の累乗
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} n & 1 & 2 & {\mathbf{3}} & 4 & 5 \\[ 5pt ] \hline 6^{n} & 6 & 36 & {\mathbf{216}} & 1296 & 7776 \end{array}平方数や自然数の累乗の値は、場合の数や確率で扱うことが多い。覚えておくと計算のスピードが上がる。
次は、約数や倍数を扱った問題を実際に解いてみましょう。