式と証明｜分数式の乗法や除法について

06/06/2021数学２

分数式の乗法や除法を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

問

$\begin{align*} &\text{次の計算をせよ。} \\[ 5pt ] &(1) \quad \frac{a-b}{a+b} \times \frac{a^{\scriptsize{2}}-b^{\scriptsize{2}}}{(a-b)^{\scriptsize{2}}} \\[ 10pt ] &(2) \quad \frac{x^{\scriptsize{2}}-x-20}{x^{\scriptsize{3}}+3x^{\scriptsize{2}}+2x} \times \frac{x^{\scriptsize{3}}+x^{\scriptsize{2}}-2x}{x^{\scriptsize{2}}-6x+5} \\[ 10pt ] &(3) \quad \frac{2a^{\scriptsize{2}}-a-3}{3a-1} \div \frac{3a^{\scriptsize{2}}+2a-1}{9a^{\scriptsize{2}}-6a+1} \\[ 10pt ] &(4) \quad \frac{(a+1)^{\scriptsize{2}}}{a^{\scriptsize{2}}-1} \times \frac{a^{\scriptsize{3}}-1}{a^{\scriptsize{3}}+1} \div \frac{a^{\scriptsize{2}}+a+1}{a^{\scriptsize{2}}-a+1} \end{align*}$

問(1)の解答・解説

問(1)

$\begin{align*} &\text{次の計算をせよ。} \\[ 5pt ] &\quad \frac{a-b}{a+b} \times \frac{a^{\scriptsize{2}}-b^{\scriptsize{2}}}{(a-b)^{\scriptsize{2}}} \end{align*}$

問(1)は、分数式の乗法です。分母や分子をそれぞれ因数分解します。

問(1)の解答例 1⃣

$\begin{align*} &\frac{a-b}{a+b} \times \frac{a^{\scriptsize{2}}-b^{\scriptsize{2}}}{(a-b)^{\scriptsize{2}}} \\[ 10pt ] = \ &\frac{a-b}{a+b} \times \frac{(a-b)(a+b)}{(a-b)^{\scriptsize{2}}} \end{align*}$

分数式の基本性質に従って約分します。整式が残っていれば、分母どうし、分子どうしをそれぞれ掛け算します。

問(1)の解答例 2⃣

約分した結果、分母と分子がそれぞれ１になるので、掛け算する必要はありません。

問(2)の解答・解説

問(2)

$\begin{align*} &\text{次の計算をせよ。} \\[ 5pt ] &\quad \frac{x^{\scriptsize{2}}-x-20}{x^{\scriptsize{3}}+3x^{\scriptsize{2}}+2x} \times \frac{x^{\scriptsize{3}}+x^{\scriptsize{2}}-2x}{x^{\scriptsize{2}}-6x+5} \end{align*}$

問(2)も分数式の乗法です。分母や分子をそれぞれ因数分解します。

問(2)の解答例 1⃣

分数式の基本性質に従って約分します。整式が残っていれば、分母どうし、分子どうしをそれぞれ掛け算します。

問(2)の解答例 2⃣

$\begin{align*} &\frac{x^{\scriptsize{2}}-x-20}{x^{\scriptsize{3}}+3x^{\scriptsize{2}}+2x} \times \frac{x^{\scriptsize{3}}+x^{\scriptsize{2}}-2x}{x^{\scriptsize{2}}-6x+5} \\[ 10pt ] = \ &\frac{(x+4)(x-5)}{x(x+1)(x+2)} \times \frac{x(x-1)(x+2)}{(x-1)(x-5)} \\[ 10pt ] = \ &\frac{(x+4)(x-5)}{x(x+1)(x+2)} \times \frac{x(x-1)(x+2)}{(x-1)(x-5)} \\[ 10pt ] = \ &\frac{x+4}{x+1} \end{align*}$

分母と分子に整式がそれぞれ１つずつ残るだけなので、掛け算する必要はありません。

問(3)の解答・解説

問(3)

$\begin{align*} &\text{次の計算をせよ。} \\[ 5pt ] &\quad \frac{2a^{\scriptsize{2}}-a-3}{3a-1} \div \frac{3a^{\scriptsize{2}}+2a-1}{9a^{\scriptsize{2}}-6a+1} \end{align*}$

問(3)は、分数式の除法です。除法を乗法に置き換えから、分母や分子をそれぞれ因数分解します。

問(3)の解答例 1⃣

$\begin{align*} &\frac{2a^{\scriptsize{2}}-a-3}{3a-1} \div \frac{3a^{\scriptsize{2}}+2a-1}{9a^{\scriptsize{2}}-6a+1} \\[ 10pt ] = \ &\frac{2a^{\scriptsize{2}}-a-3}{3a-1} \times \frac{9a^{\scriptsize{2}}-6a+1}{3a^{\scriptsize{2}}+2a-1} \\[ 10pt ] = \ &\frac{(a+1)(2a-3)}{3a-1} \times \frac{(3a-1)^{\scriptsize{2}}}{(a+1)(3a-1)} \end{align*}$

分数式の基本性質に従って約分します。整式が残っていれば、分母どうし、分子どうしをそれぞれ掛け算します。

問(3)の解答例 2⃣

約分した結果、分子に整式が１つだけ残り、分母が１になるので、掛け算する必要はありません。

ちなみに、数や整式を分数にするとき、最も簡単な形は以下のようになります。分母を１にすれば、分数に置き換えることができます

数や式を最も簡単な分数にする

$\begin{align*} &\quad 10=\frac{10}{1} \\[ 10pt ] &\quad a+1=\frac{a+1}{1} \end{align*}$

問(4)の解答・解説

問(4)

$\begin{align*} &\text{次の計算をせよ。} \\[ 5pt ] &\quad \frac{(a+1)^{\scriptsize{2}}}{a^{\scriptsize{2}}-1} \times \frac{a^{\scriptsize{3}}-1}{a^{\scriptsize{3}}+1} \div \frac{a^{\scriptsize{2}}+a+1}{a^{\scriptsize{2}}-a+1} \end{align*}$

問(4)は、分数式の乗法と除法が混ざった計算です。乗法に統一してから、分母や分子をそれぞれ因数分解します。

問(4)の解答例 1⃣

$\begin{align*} &\frac{(a+1)^{\scriptsize{2}}}{a^{\scriptsize{2}}-1} \times \frac{a^{\scriptsize{3}}-1}{a^{\scriptsize{3}}+1} \div \frac{a^{\scriptsize{2}}+a+1}{a^{\scriptsize{2}}-a+1} \\[ 10pt ] = \ &\frac{(a+1)^{\scriptsize{2}}}{a^{\scriptsize{2}}-1} \times \frac{a^{\scriptsize{3}}-1}{a^{\scriptsize{3}}+1} \times \frac{a^{\scriptsize{2}}-a+1}{a^{\scriptsize{2}}+a+1} \\[ 10pt ] = \ &\frac{(a+1)^{\scriptsize{2}}}{(a-1)(a+1)} \times \frac{(a-1)(a^{\scriptsize{2}}+a+1)}{(a+1)(a^{\scriptsize{2}}-a+1)} \times \frac{a^{\scriptsize{2}}-a+1}{a^{\scriptsize{2}}+a+1} \end{align*}$

３次式の因数分解があるので注意しましょう。

式と証明｜３次式の因数分解について

分数式の基本性質に従って約分します。整式が残っていれば、分母どうし、分子どうしを掛け算します。

問(4)の解答例 2⃣