式と証明｜分数式の乗法や除法について
目次
分数式の乗法や除法を扱った問題を解いてみよう
次の問題を解いてみましょう。
問
\begin{align*}
&\text{次の計算をせよ。} \\[ 5pt ]
&(1) \quad \frac{a-b}{a+b} \times \frac{a^{\scriptsize{2}}-b^{\scriptsize{2}}}{(a-b)^{\scriptsize{2}}} \\[ 10pt ]
&(2) \quad \frac{x^{\scriptsize{2}}-x-20}{x^{\scriptsize{3}}+3x^{\scriptsize{2}}+2x} \times \frac{x^{\scriptsize{3}}+x^{\scriptsize{2}}-2x}{x^{\scriptsize{2}}-6x+5} \\[ 10pt ]
&(3) \quad \frac{2a^{\scriptsize{2}}-a-3}{3a-1} \div \frac{3a^{\scriptsize{2}}+2a-1}{9a^{\scriptsize{2}}-6a+1} \\[ 10pt ]
&(4) \quad \frac{(a+1)^{\scriptsize{2}}}{a^{\scriptsize{2}}-1} \times \frac{a^{\scriptsize{3}}-1}{a^{\scriptsize{3}}+1} \div \frac{a^{\scriptsize{2}}+a+1}{a^{\scriptsize{2}}-a+1}
\end{align*}
問(1)の解答・解説
問(1)
\begin{align*}
&\text{次の計算をせよ。} \\[ 5pt ]
&\quad \frac{a-b}{a+b} \times \frac{a^{\scriptsize{2}}-b^{\scriptsize{2}}}{(a-b)^{\scriptsize{2}}}
\end{align*}
問(1)は、分数式の乗法です。分母や分子をそれぞれ因数分解します。
問(1)の解答例 1⃣
\begin{align*}
&\frac{a-b}{a+b} \times \frac{a^{\scriptsize{2}}-b^{\scriptsize{2}}}{(a-b)^{\scriptsize{2}}} \\[ 10pt ]
= \ &\frac{a-b}{a+b} \times \frac{(a-b)(a+b)}{(a-b)^{\scriptsize{2}}}
\end{align*}
分数式の基本性質に従って約分します。整式が残っていれば、分母どうし、分子どうしをそれぞれ掛け算します。
問(1)の解答例 2⃣
\begin{align*}
&\frac{a-b}{a+b} \times \frac{a^{\scriptsize{2}}-b^{\scriptsize{2}}}{(a-b)^{\scriptsize{2}}} \\[ 10pt ]
= \ &\frac{a-b}{a+b} \times \frac{(a-b)(a+b)}{(a-b)^{\scriptsize{2}}} \\[ 10pt ]
= \ &1
\end{align*}
約分した結果、分母と分子がそれぞれ１になるので、掛け算する必要はありません。
問(2)の解答・解説
問(2)
\begin{align*}
&\text{次の計算をせよ。} \\[ 5pt ]
&\quad \frac{x^{\scriptsize{2}}-x-20}{x^{\scriptsize{3}}+3x^{\scriptsize{2}}+2x} \times \frac{x^{\scriptsize{3}}+x^{\scriptsize{2}}-2x}{x^{\scriptsize{2}}-6x+5}
\end{align*}
問(2)も分数式の乗法です。分母や分子をそれぞれ因数分解します。
問(2)の解答例 1⃣
\begin{align*}
&\frac{x^{\scriptsize{2}}-x-20}{x^{\scriptsize{3}}+3x^{\scriptsize{2}}+2x} \times \frac{x^{\scriptsize{3}}+x^{\scriptsize{2}}-2x}{x^{\scriptsize{2}}-6x+5} \\[ 10pt ]
= \ &\frac{(x+4)(x-5)}{x(x+1)(x+2)} \times \frac{x(x-1)(x+2)}{(x-1)(x-5)}
\end{align*}
分数式の基本性質に従って約分します。整式が残っていれば、分母どうし、分子どうしをそれぞれ掛け算します。
問(2)の解答例 2⃣
\begin{align*}
&\frac{x^{\scriptsize{2}}-x-20}{x^{\scriptsize{3}}+3x^{\scriptsize{2}}+2x} \times \frac{x^{\scriptsize{3}}+x^{\scriptsize{2}}-2x}{x^{\scriptsize{2}}-6x+5} \\[ 10pt ]
= \ &\frac{(x+4)(x-5)}{x(x+1)(x+2)} \times \frac{x(x-1)(x+2)}{(x-1)(x-5)} \\[ 10pt ]
= \ &\frac{(x+4)(x-5)}{x(x+1)(x+2)} \times \frac{x(x-1)(x+2)}{(x-1)(x-5)} \\[ 10pt ]
= \ &\frac{x+4}{x+1}
\end{align*}
分母と分子に整式がそれぞれ１つずつ残るだけなので、掛け算する必要はありません。
問(3)の解答・解説
問(3)
\begin{align*}
&\text{次の計算をせよ。} \\[ 5pt ]
&\quad \frac{2a^{\scriptsize{2}}-a-3}{3a-1} \div \frac{3a^{\scriptsize{2}}+2a-1}{9a^{\scriptsize{2}}-6a+1}
\end{align*}
問(3)は、分数式の除法です。除法を乗法に置き換えから、分母や分子をそれぞれ因数分解します。
問(3)の解答例 1⃣
\begin{align*}
&\frac{2a^{\scriptsize{2}}-a-3}{3a-1} \div \frac{3a^{\scriptsize{2}}+2a-1}{9a^{\scriptsize{2}}-6a+1} \\[ 10pt ]
= \ &\frac{2a^{\scriptsize{2}}-a-3}{3a-1} \times \frac{9a^{\scriptsize{2}}-6a+1}{3a^{\scriptsize{2}}+2a-1} \\[ 10pt ]
= \ &\frac{(a+1)(2a-3)}{3a-1} \times \frac{(3a-1)^{\scriptsize{2}}}{(a+1)(3a-1)}
\end{align*}
分数式の基本性質に従って約分します。整式が残っていれば、分母どうし、分子どうしをそれぞれ掛け算します。
問(3)の解答例 2⃣
\begin{align*}
&\frac{2a^{\scriptsize{2}}-a-3}{3a-1} \div \frac{3a^{\scriptsize{2}}+2a-1}{9a^{\scriptsize{2}}-6a+1} \\[ 10pt ]
= \ &\frac{2a^{\scriptsize{2}}-a-3}{3a-1} \times \frac{9a^{\scriptsize{2}}-6a+1}{3a^{\scriptsize{2}}+2a-1} \\[ 10pt ]
= \ &\frac{(a+1)(2a-3)}{3a-1} \times \frac{(3a-1)^{\scriptsize{2}}}{(a+1)(3a-1)} \\[ 10pt ]
= \ &\frac{2a-3}{1} \\[ 10pt ]
= \ &2a-3
\end{align*}
約分した結果、分子に整式が１つだけ残り、分母が１になるので、掛け算する必要はありません。
ちなみに、数や整式を分数にするとき、最も簡単な形は以下のようになります。分母を１にすれば、分数に置き換えることができます
数や式を最も簡単な分数にする
\begin{align*}
&\quad 10=\frac{10}{1} \\[ 10pt ]
&\quad a+1=\frac{a+1}{1}
\end{align*}
問(4)の解答・解説
問(4)
\begin{align*}
&\text{次の計算をせよ。} \\[ 5pt ]
&\quad \frac{(a+1)^{\scriptsize{2}}}{a^{\scriptsize{2}}-1} \times \frac{a^{\scriptsize{3}}-1}{a^{\scriptsize{3}}+1} \div \frac{a^{\scriptsize{2}}+a+1}{a^{\scriptsize{2}}-a+1}
\end{align*}
問(4)は、分数式の乗法と除法が混ざった計算です。乗法に統一してから、分母や分子をそれぞれ因数分解します。
問(4)の解答例 1⃣
\begin{align*}
&\frac{(a+1)^{\scriptsize{2}}}{a^{\scriptsize{2}}-1} \times \frac{a^{\scriptsize{3}}-1}{a^{\scriptsize{3}}+1} \div \frac{a^{\scriptsize{2}}+a+1}{a^{\scriptsize{2}}-a+1} \\[ 10pt ]
= \ &\frac{(a+1)^{\scriptsize{2}}}{a^{\scriptsize{2}}-1} \times \frac{a^{\scriptsize{3}}-1}{a^{\scriptsize{3}}+1} \times \frac{a^{\scriptsize{2}}-a+1}{a^{\scriptsize{2}}+a+1} \\[ 10pt ]
= \ &\frac{(a+1)^{\scriptsize{2}}}{(a-1)(a+1)} \times \frac{(a-1)(a^{\scriptsize{2}}+a+1)}{(a+1)(a^{\scriptsize{2}}-a+1)} \times \frac{a^{\scriptsize{2}}-a+1}{a^{\scriptsize{2}}+a+1}
\end{align*}
３次式の因数分解があるので注意しましょう。
関連記事
分数式の基本性質に従って約分します。整式が残っていれば、分母どうし、分子どうしを掛け算します。
問(4)の解答例 2⃣
\begin{align*}
&\frac{(a+1)^{\scriptsize{2}}}{a^{\scriptsize{2}}-1} \times \frac{a^{\scriptsize{3}}-1}{a^{\scriptsize{3}}+1} \div \frac{a^{\scriptsize{2}}+a+1}{a^{\scriptsize{2}}-a+1} \\[ 10pt ]
= \ &\frac{(a+1)^{\scriptsize{2}}}{a^{\scriptsize{2}}-1} \times \frac{a^{\scriptsize{3}}-1}{a^{\scriptsize{3}}+1} \times \frac{a^{\scriptsize{2}}-a+1}{a^{\scriptsize{2}}+a+1} \\[ 10pt ]
= \ &\frac{(a+1)^{\scriptsize{2}}}{(a-1)(a+1)} \times \frac{(a-1)(a^{\scriptsize{2}}+a+1)}{(a+1)(a^{\scriptsize{2}}-a+1)} \times \frac{a^{\scriptsize{2}}-a+1}{a^{\scriptsize{2}}+a+1} \\[ 10pt ]
= \ &\frac{1}{1} \\[ 10pt ]
= \ &1
\end{align*}
約分した結果、分母と分子がそれぞれ１になるので、掛け算する必要はありません。
基本レベルであれば、簡単に約分できるものが多いですが、実際にはそれほど多くありません。それでも分数式を扱う場合には、整式を因数分解して、因数を調べることを優先しましょう。
Recommended books
計算力は重要な要素となります。試験では考える時間を多く取るために、いかに計算を手早く行うかが重要です。
計算力の有無は、数学２・Ｂや数学３では顕著になります。計算に時間がかかりすぎては解けるものも解けません。後悔しないためにも日頃からしっかり鍛えておきましょう。
これから紹介する教材で気になるものがあれば、ぜひ一読してみて下さい。気に入ったら最後まで徹底的にこなしましょう。
オススメその１『合格る計算数学１・A・２・Ｂ』
オススメその２『鉄緑会 基礎力完成 数学Ⅰ・Ａ＋Ⅱ・Ｂ』
大事なことは、自分に合った教材を徹底的に活用することです。どの教材を選ぶにしても、自分の目で中身を確認し、納得してから購入することが大切です。
さいごにもう一度まとめ
- 整式を扱った分数式では、整式を因数分解しよう。
- 分数式の乗法や除法では、整式を因数分解して約分できるか調べよう。
- 整式の因数分解は数学１で学習した内容なので、できるだけ暗算で手早く因数分解できるようにしておこう。