式と証明|分数式の乗法や除法について

02/15/2019数学2除法,式と証明,分数式,乗法

分数式の乗法や除法を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。


\begin{align*}
&\text{次の計算をせよ。} \\[ 5pt ]
&(1) \quad \frac{a-b}{a+b} \times \frac{a^{\scriptsize{2}}-b^{\scriptsize{2}}}{(a-b)^{\scriptsize{2}}} \\[ 10pt ]
&(2) \quad \frac{x^{\scriptsize{2}}-x-20}{x^{\scriptsize{3}}+3x^{\scriptsize{2}}+2x} \times \frac{x^{\scriptsize{3}}+x^{\scriptsize{2}}-2x}{x^{\scriptsize{2}}-6x+5} \\[ 10pt ]
&(3) \quad \frac{2a^{\scriptsize{2}}-a-3}{3a-1} \div \frac{3a^{\scriptsize{2}}+2a-1}{9a^{\scriptsize{2}}-6a+1} \\[ 10pt ]
&(4) \quad \frac{(a+1)^{\scriptsize{2}}}{a^{\scriptsize{2}}-1} \times \frac{a^{\scriptsize{3}}-1}{a^{\scriptsize{3}}+1} \div \frac{a^{\scriptsize{2}}+a+1}{a^{\scriptsize{2}}-a+1}
\end{align*}

2種類の文字を含む整式を扱うので、どの文字に着目するのかをしっかり確認しましょう。

問(1)の解答・解説

問(1)
\begin{align*}
&\text{次の計算をせよ。} \\[ 5pt ]
&(1) \quad \frac{a-b}{a+b} \times \frac{a^{\scriptsize{2}}-b^{\scriptsize{2}}}{(a-b)^{\scriptsize{2}}}
\end{align*}

問(1)は、分数式の乗法です。分母や分子の整式を因数分解して積の形に変形します。

問(1)の解答例
\begin{align*}
&\frac{a-b}{a+b} \times \frac{a^{\scriptsize{2}}-b^{\scriptsize{2}}}{(a-b)^{\scriptsize{2}}} \\[ 10pt ]
= &\frac{a-b}{a+b} \times \frac{(a-b)(a+b)}{(a-b)^{\scriptsize{2}}}
\end{align*}

分数式の基本性質に従って約分します。整式が残っていれば、分母同士、分子同士を掛け算します。

問(1)の解答例つづき
\begin{align*}
&\frac{a-b}{a+b} \times \frac{a^{\scriptsize{2}}-b^{\scriptsize{2}}}{(a-b)^{\scriptsize{2}}} \\[ 10pt ]
= &\frac{a-b}{a+b} \times \frac{(a-b)(a+b)}{(a-b)^{\scriptsize{2}}} \\[ 10pt ]
= &1
\end{align*}

約分した結果、分母と分子がそれぞれ1になったので、掛け算する必要がありません。

問(2)の解答・解説

問(2)
\begin{align*}
&\text{次の計算をせよ。} \\[ 5pt ]
&(2) \quad \frac{x^{\scriptsize{2}}-x-20}{x^{\scriptsize{3}}+3x^{\scriptsize{2}}+2x} \times \frac{x^{\scriptsize{3}}+x^{\scriptsize{2}}-2x}{x^{\scriptsize{2}}-6x+5}
\end{align*}

問(2)も分数式の乗法です。分母や分子の整式を因数分解して積の形に変形します。

問(2)の解答例
\begin{align*}
&\frac{x^{\scriptsize{2}}-x-20}{x^{\scriptsize{3}}+3x^{\scriptsize{2}}+2x} \times \frac{x^{\scriptsize{3}}+x^{\scriptsize{2}}-2x}{x^{\scriptsize{2}}-6x+5} \\[ 10pt ]
= &\frac{(x+4)(x-5)}{x(x+1)(x+2)} \times \frac{x(x-1)(x+2)}{(x-1)(x-5)}
\end{align*}

分数式の基本性質に従って約分します。整式が残っていれば、分母同士、分子同士を掛け算します。

問(2)の解答例つづき
\begin{align*}
&\frac{x^{\scriptsize{2}}-x-20}{x^{\scriptsize{3}}+3x^{\scriptsize{2}}+2x} \times \frac{x^{\scriptsize{3}}+x^{\scriptsize{2}}-2x}{x^{\scriptsize{2}}-6x+5} \\[ 10pt ]
= &\frac{(x+4)(x-5)}{x(x+1)(x+2)} \times \frac{x(x-1)(x+2)}{(x-1)(x-5)} \\[ 10pt ]
= &\frac{(x+4)(x-5)}{x(x+1)(x+2)} \times \frac{x(x-1)(x+2)}{(x-1)(x-5)} \\[ 10pt ]
= &\frac{x+4}{x+1}
\end{align*}

分母と分子に整式がそれぞれ1つずつ残っただけなので、掛け算する必要はありません。

問(3)の解答・解説

問(3)
\begin{align*}
&\text{次の計算をせよ。} \\[ 5pt ]
&(3) \quad \frac{2a^{\scriptsize{2}}-a-3}{3a-1} \div \frac{3a^{\scriptsize{2}}+2a-1}{9a^{\scriptsize{2}}-6a+1}
\end{align*}

問(3)は、分数式の除法です。除法を乗法に置き換えから、分母や分子の整式を因数分解します。

問(3)の解答例
\begin{align*}
&\frac{2a^{\scriptsize{2}}-a-3}{3a-1} \div \frac{3a^{\scriptsize{2}}+2a-1}{9a^{\scriptsize{2}}-6a+1} \\[ 10pt ]
= &\frac{2a^{\scriptsize{2}}-a-3}{3a-1} \times \frac{9a^{\scriptsize{2}}-6a+1}{3a^{\scriptsize{2}}+2a-1} \\[ 10pt ]
= &\frac{(a+1)(2a-3)}{3a-1} \times \frac{(3a-1)^{\scriptsize{2}}}{(a+1)(3a-1)}
\end{align*}

分数式の基本性質に従って約分します。整式が残っていれば、分母同士、分子同士を掛け算します。

問(3)の解答例つづき
\begin{align*}
&\frac{2a^{\scriptsize{2}}-a-3}{3a-1} \div \frac{3a^{\scriptsize{2}}+2a-1}{9a^{\scriptsize{2}}-6a+1} \\[ 10pt ]
= &\frac{2a^{\scriptsize{2}}-a-3}{3a-1} \times \frac{9a^{\scriptsize{2}}-6a+1}{3a^{\scriptsize{2}}+2a-1} \\[ 10pt ]
= &\frac{(a+1)(2a-3)}{3a-1} \times \frac{(3a-1)^{\scriptsize{2}}}{(a+1)(3a-1)} \\[ 10pt ]
= &2a-3
\end{align*}

約分した結果、分母に整式が1つだけ残り、分子は1になったので、掛け算する必要はありません。

問(4)の解答・解説

問(4)
\begin{align*}
&\text{次の計算をせよ。} \\[ 5pt ]
&(4) \quad \frac{(a+1)^{\scriptsize{2}}}{a^{\scriptsize{2}}-1} \times \frac{a^{\scriptsize{3}}-1}{a^{\scriptsize{3}}+1} \div \frac{a^{\scriptsize{2}}+a+1}{a^{\scriptsize{2}}-a+1}
\end{align*}

問(3)は、分数式の乗法と除法が混ざった計算です。乗法に統一してから、分母や分子の整式を因数分解します。3次式の因数分解があるので注意しましょう。

問(4)の解答例
\begin{align*}
&\frac{(a+1)^{\scriptsize{2}}}{a^{\scriptsize{2}}-1} \times \frac{a^{\scriptsize{3}}-1}{a^{\scriptsize{3}}+1} \div \frac{a^{\scriptsize{2}}+a+1}{a^{\scriptsize{2}}-a+1} \\[ 10pt ]
= &\frac{(a+1)^{\scriptsize{2}}}{a^{\scriptsize{2}}-1} \times \frac{a^{\scriptsize{3}}-1}{a^{\scriptsize{3}}+1} \times \frac{a^{\scriptsize{2}}-a+1}{a^{\scriptsize{2}}+a+1} \\[ 10pt ]
= &\frac{(a+1)^{\scriptsize{2}}}{(a-1)(a+1)} \times \frac{(a-1)(a^{\scriptsize{2}}+a+1)}{(a+1)(a^{\scriptsize{2}}-a+1)} \times \frac{a^{\scriptsize{2}}-a+1}{a^{\scriptsize{2}}+a+1}
\end{align*}

分数式の基本性質に従って約分します。整式が残っていれば、分母同士、分子同士を掛け算します。

問(4)の解答例つづき
\begin{align*}
&\frac{(a+1)^{\scriptsize{2}}}{a^{\scriptsize{2}}-1} \times \frac{a^{\scriptsize{3}}-1}{a^{\scriptsize{3}}+1} \div \frac{a^{\scriptsize{2}}+a+1}{a^{\scriptsize{2}}-a+1} \\[ 10pt ]
= &\frac{(a+1)^{\scriptsize{2}}}{a^{\scriptsize{2}}-1} \times \frac{a^{\scriptsize{3}}-1}{a^{\scriptsize{3}}+1} \times \frac{a^{\scriptsize{2}}-a+1}{a^{\scriptsize{2}}+a+1} \\[ 10pt ]
= &\frac{(a+1)^{\scriptsize{2}}}{(a-1)(a+1)} \times \frac{(a-1)(a^{\scriptsize{2}}+a+1)}{(a+1)(a^{\scriptsize{2}}-a+1)} \times \frac{a^{\scriptsize{2}}-a+1}{a^{\scriptsize{2}}+a+1} \\[ 10pt ]
= &1
\end{align*}

約分した結果、分母と分子がそれぞれ1になったので、掛け算する必要がありません。計算問題であれば簡単に約分できるものが多いですが、実際にはそれほど多くないかもしれません。それでも分数式を扱う場合には、整式を因数分解して、因数を調べることを優先しましょう。

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さいごにもう一度まとめ

  • 整式を扱った分数式では、整式を因数分解しよう。
  • 分数式の乗法や除法では、整式を因数分解して約分できるか調べよう。
  • 整式の因数分解は数学1で学習した内容なので、できるだけ暗算で手早く因数分解できるようにしておこう。