複素数と方程式｜高次方程式の解法（因数定理の利用）について

05/24/2021数学２

高次方程式の解法（因数定理の利用）を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

問

\begin{align*} &\text{次の方程式を解け。} \\[ 5pt ] &(1) \quad 2x^{\scriptsize{3}}-x^{\scriptsize{2}}-8x+4=0 \\[ 7pt ] &(2) \quad x^{\scriptsize{4}}-x^{\scriptsize{3}}-3x^{\scriptsize{2}}+x+2=0 \\[ 7pt ] &(3) \quad 4x^{\scriptsize{4}}-4x^{\scriptsize{3}}-9x^{\scriptsize{2}}+x+2=0 \end{align*}

問(1)の解答・解説

問(1)

\begin{align*} &\text{次の方程式を解け。} \\[ 5pt ] &\quad 2x^{\scriptsize{3}}-x^{\scriptsize{2}}-8x+4=0 \end{align*}

与式は３次方程式です。左辺の３次式を見ると、公式に当てはまる式ではありません。因数定理を利用して、左辺を因数分解します。

与式の左辺を抜き出し、因数定理が成り立つｘの値を探します。候補の中から計算しやすいものを選んで代入しましょう。

問(1)の解答例 1⃣

\begin{align*} &\quad 2x^{\scriptsize{3}}-x^{\scriptsize{2}}-8x+4=0 \\[ 7pt ] &\quad P(x)=2x^{\scriptsize{3}}-x^{\scriptsize{2}}-8x+4 \\[ 7pt ] &\text{とすると、} \\[ 5pt ] &\quad P(2)=2 \cdot 2^{\scriptsize{3}}-2^{\scriptsize{2}}-8 \cdot 2+4=0 \\[ 7pt ] &\text{よって、$P(x)$ は $x-2$ を因数にもつ。} \end{align*}

因数となる１次式が分かったら、組立除法で割り算します。因数で割り算するので、必ず割り切れて余りが０になります。組立除法の結果は以下の通りです。

３次式を１次式で割ると、商は２次式になります。この結果をもとに整式を因数分解します。

問(1)の解答例 2⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\text{よって、$P(x)$ は $x-2$ を因数にもつ。} \\[ 7pt ] &\text{したがって} \\[ 5pt ] &\quad P(x)=\left(x-2 \right)\left(2x^{\scriptsize{2}}+3x-2 \right) \\[ 7pt ] &\text{さらに因数分解すると} \\[ 5pt ] &\quad P(x)=\left(x-2 \right)\left(x+2 \right)\left(2x-1 \right) \end{align*}

商が２次以上の整式であれば、因数分解できるかどうかを必ず確認しましょう。ここでは、たすき掛けで因数分解できます。

整式を因数分解できたら、もとの方程式に戻ります。因数分解後の方程式を解いて解を求めます。

問(1)の解答例 3⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad P(x)=\left(x-2 \right)\left(x+2 \right)\left(2x-1 \right) \\[ 7pt ] &\text{$P(x)=0$ であるので} \\[ 5pt ] &\quad x-2=0 \ \text{または} \ x+2=0 \ \text{または} \ 2x-1=0 \\[ 7pt ] &\text{したがって} \\[ 5pt ] &\quad x = \pm 2 \ , \ \frac{1}{2} \end{align*}

因数分解の結果から、左辺の３次式は３つの１次式を因数にもつことが分かります。ですから、解答例で見つけた因数ｘ－２と違っても、同じように解くことができます。

問(2)の解答・解説

問(2)

\begin{align*} &\text{次の方程式を解け。} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{4}}-x^{\scriptsize{3}}-3x^{\scriptsize{2}}+x+2=0 \end{align*}

与式は４次方程式です。左辺の４次式を因数分解するには、因数定理を利用します。

与式の左辺を抜き出し、因数定理が成り立つｘの値を探します。候補の中から計算しやすいものを選んで代入します。

問(2)の解答例 1⃣

\begin{align*} &\quad x^{\scriptsize{4}}-x^{\scriptsize{3}}-3x^{\scriptsize{2}}+x+2=0 \\[ 7pt ] &\quad P(x)=x^{\scriptsize{4}}-x^{\scriptsize{3}}-3x^{\scriptsize{2}}+x+2 \\[ 7pt ] &\text{とすると、} \\[ 5pt ] &\quad P(1)=1^{\scriptsize{4}}-1^{\scriptsize{3}}-3 \cdot 1^{\scriptsize{2}}+1+2=0 \\[ 7pt ] &\text{よって、$P(x)$ は $x-1$ を因数にもつ。} \end{align*}

因数となる１次式が分かったので、組立除法で割り算します。因数で割り算すると、余りが０になることに注意しましょう。組立除法の結果は以下の通りです。

４次式を１次式で割ると、商は３次式になります。この結果をもとに整式を因数分解します。

問(2)の解答例 2⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\text{よって、$P(x)$ は $x-1$ を因数にもつ。} \\[ 7pt ] &\text{したがって} \\[ 5pt ] &\quad P(x)=\left(x-1 \right)\left(x^{\scriptsize{3}}-3x-2 \right) \end{align*}

商が３次式なので、この商だけを別途に抜き出します。因数定理を利用して３次式を因数分解します。

問(2)の解答例 3⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad P(x)=\left(x-1 \right)\left(x^{\scriptsize{3}}-3x-2 \right) \\[ 7pt ] &\text{ここで} \\[ 5pt ] &\quad Q(x)=x^{\scriptsize{3}}-3x-2 \\[ 7pt ] &\text{とすると} \\[ 5pt ] &\quad Q(1)=\left(-1 \right)^{\scriptsize{3}}-3 \cdot \left(-1 \right)-2=0 \\[ 7pt ] &\text{より、$Q(x)$ は $x+1$ を因数にもつので} \\[ 5pt ] &\quad Q(x)=\left(x+1 \right)\left(x^{\scriptsize{2}}-x-2 \right) \end{align*}

２度目の組立除法の結果は以下の通りです。２度目の組立除法は、１度目の結果の下に続けて記述します。

因数分解した後も２次式が残るので、たすき掛けでさらに因数分解します。

問(2)の解答例 4⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad P(x)=\left(x-1 \right)\left(x^{\scriptsize{3}}-3x-2 \right) \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad Q(x)=\left(x+1 \right)\left(x^{\scriptsize{2}}-x-2 \right) \\[ 7pt ] &\text{さらに因数分解すると} \\[ 5pt ] &\quad Q(x)=\left(x+1 \right)\left(x+1 \right)\left(x-2 \right) \\[ 7pt ] &\text{これより} \\[ 5pt ] &\quad P(x)=\left(x-1 \right)\left(x+1 \right)^{\scriptsize{2}}\left(x-2 \right) \end{align*}

抜き出した整式を因数分解した後は、もとの方程式に戻ります。因数分解後の方程式を解いて解を求めます。

問(2)の解答例 5⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad P(x)=\left(x-1 \right)\left(x+1 \right)^{\scriptsize{2}}\left(x-2 \right) \\[ 7pt ] &\text{$P(x)=0$ であるので} \\[ 5pt ] &\quad x-1=0 \ \text{または} \ x+1=0 \ \text{または} \ x-2=0 \\[ 7pt ] &\text{したがって} \\[ 5pt ] &\quad x = -1 \ \text{（重解）} \ , \ 1 \ , \ 2 \end{align*}

因数分解した結果を見ると、整式が因数ｘ＋１を２つもつことが分かります。このことから、４次方程式は２重解（ｘ＝－１）を解にもつことが分かります。

一般に、４次以上の方程式では、因数定理を何度か利用することになります。

問(3)の解答・解説

問(3)

\begin{align*} &\text{次の方程式を解け。} \\[ 5pt ] &\quad 4x^{\scriptsize{4}}-4x^{\scriptsize{3}}-9x^{\scriptsize{2}}+x+2=0 \end{align*}

与式は４次方程式です。問(2)と同じ要領で解いていきましょう。

与式の左辺を抜き出し、因数定理が成り立つｘの値を探します。候補の見つけ方については上述していますが、難しいようであれば、±１，±２を順に代入してみましょう。

問(3)の解答例 1⃣

\begin{align*} &\quad 4x^{\scriptsize{4}}-4x^{\scriptsize{3}}-9x^{\scriptsize{2}}+x+2=0 \\[ 7pt ] &\quad P(x)=4x^{\scriptsize{4}}-4x^{\scriptsize{3}}-9x^{\scriptsize{2}}+x+2 \\[ 7pt ] &\text{とすると、} \\[ 5pt ] &\quad P(-1)=4 \cdot \left(-1 \right)^{\scriptsize{4}}-4 \cdot \left(-1 \right)^{\scriptsize{3}}-9 \cdot \left(-1 \right)^{\scriptsize{2}}+\left(-1 \right)+2=0 \\[ 7pt ] &\text{よって、$P(x)$ は $x+1$ を因数にもつ。} \end{align*}

因数となる１次式が分かったら、組立除法で割り算します。因数で割り算するので、必ず余りが０になることを確認しましょう。組立除法の結果は以下の通りです。

４次式を１次式で割ると、商は３次式になります。この結果をもとに整式を因数分解します。

問(3)の解答例 2⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\text{よって、$P(x)$ は $x+1$ を因数にもつ。} \\[ 5pt ] &\text{したがって} \\[ 5pt ] &\quad P(x)=\left(x+1 \right)\left(4x^{\scriptsize{3}}-8x^{\scriptsize{2}}-x+2 \right) \end{align*}

商が３次式なので、因数定理を利用して３次式を因数分解します。

問(3)の解答例 3⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad P(x)=\left(x+1 \right)\left(4x^{\scriptsize{3}}-8x^{\scriptsize{2}}-x+2 \right) \\[ 7pt ] &\text{ここで} \\[ 5pt ] &\quad Q(x)=4x^{\scriptsize{3}}-8x^{\scriptsize{2}}-x+2 \\[ 7pt ] &\text{とすると} \\[ 5pt ] &\quad Q(2)=4 \cdot 2^{\scriptsize{3}}-8 \cdot 2^{\scriptsize{2}}-2+2=0 \\[ 7pt ] &\text{より、$Q(x)$ は $x-2$ を因数にもつので} \\[ 5pt ] &\quad Q(x)=\left(x-2 \right)\left(4x^{\scriptsize{2}}-1 \right) \end{align*}

２度目の組立除法の結果は以下の通りです。２度目の組立除法は、１度目の結果の下に続けて記述します。

２度目の組立除法では、余り以外にも０が出てきています。これは商である２次式において、１次の項の係数が０という意味です。注意しましょう。

組立除法後に出てきた２次式は、乗法公式に当てはまる式です。公式に当てはめてさらに因数分解します。

問(3)の解答例 4⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad P(x)=\left(x+1 \right)\left(4x^{\scriptsize{3}}-8x^{\scriptsize{2}}-x+2 \right) \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad Q(x)=\left(x-2 \right)\left(4x^{\scriptsize{2}}-1 \right) \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad Q(x)=\left(x-2 \right)\left(2x+1 \right)\left(2x-1 \right) \\[ 7pt ] &\text{これより} \\[ 5pt ] &\quad P(x)=\left(x+1 \right)\left(x-2 \right)\left(2x+1 \right)\left(2x-1 \right) \end{align*}

整式を因数分解した後は、もとの方程式に戻ります。因数分解後の方程式を解いて解を求めます。

問(3)の解答例 5⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad P(x)=\left(x+1 \right)\left(x-2 \right)\left(2x+1 \right)\left(2x-1 \right) \\[ 7pt ] &\text{$P(x)=0$ であるので} \\[ 5pt ] &\quad x+1=0 \ \text{または} \ x-2=0 \ \text{または} \\[ 7pt ] &\quad 2x+1=0 \ \text{または} \ 2x-1=0 \\[ 7pt ] &\text{したがって} \\[ 5pt ] &\quad x = -1 \ , \ 2 \ , \ \pm \frac{1}{2} \end{align*}

４次方程式なので、重解があれば別ですが、解は基本的に４つあると考えておきましょう。

方程式の解は、基本的に次数のぶんだけある。２次方程式なら２個、３次方程式なら３個。

これまでは方程式と言えば、公式に当てはめて因数分解できるものがほとんどでした。しかし、３次以上の高次方程式になると、公式による因数分解はほとんど望めません。

このような方程式では、整式がいくつかの１次式や２次式などによってできていると考えて、高次式の因数に注目します。

因数は高次式を作る部品です。この因数を見つけるために、因数定理を利用します。高次式の因数が見つかれば、それをもとに割り算して分解することができます。

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