図形の性質|重心について

05/20/2017数学A図形の性質,重心,中線

数学A 図形の性質

重心を扱った問題を解いてみよう

次の問題を考えてみましょう。

重心を扱った問題その1

重心を扱った問題その2

問(1)の解答・解説

問(1)
△ABCの重心をGとし、辺AB上に点Pをとる。このとき、△BPGと△BPMの面積比を求めよ。

問(1)は△BPGと△BPMの面積比を求める問題です。

△BPGと△BPMは、底辺をそれぞれBG , BMとすると、高さが等しい三角形です。このことに気付けば、(面積比)=(底辺の比)を利用することができます。

一般に、1つの三角形を2つの三角形に分割したような図形の場合、高さが等しくなるので、(面積比)=(底辺の比)を利用できる。

重心を扱った問題問(1)の図

また、線分BMは重心Gを通るので中線です。ですから、重心Gは線分BMを $2:1$ に内分するします。この内分比を利用すると、$BG : BM$ を求めることができます。

問(1)の解答例
\begin{align*}
&\quad \triangle {BPG} : \triangle {BPM} = BG: BM \\[ 5pt ]
&\text{ここで} \ BG : GM = 2:1 \ \text{より} \\[ 5pt ]
&\quad BG : BM = 2 : 3
\end{align*}

解答例の続きは以下のようになります。

重心を扱った問題問(1)の解答例

問(2)の解答・解説

問(2)
平行四辺形ABCDについて、△ABCの重心Gと△ADCの重心G’は線分BD上にあることを示せ。また、$BD:GG’$ を求めよ。

問(2)は証明問題と線分の比を求める問題です。まず、△ABCの重心Gと△ADCの重心G’が線分BD上にあることを証明します。

重心G , G’を通る線分は三角形の中線です。ですから、線分BDに中線が重なることを示せば良いことが分かります。

重心を扱った問題問(2)の図

図のように、平行四辺形の2つの対角線の交点をOとおきます。平行四辺形の対角線AC , BDは互いに他を二等分するという性質をもちます。

平行四辺形の対角線の性質
\begin{align*}&
\text{2本の対角線は互いに他を二等分するので} \\[ 5pt ]
&\quad OA = OC \ , \ OB = OD
\end{align*}

この対角線の性質から、点Oは線分ACの中点であることが分かります。ですから、△ABCにおいて、線分OBは中線となり、△ADCにおいて、線分ODは中線となります。

線分OBが△ABCにおいて中線であれば、△ABCの重心Gは線分OB上にあることが言え、また、線分ODが△ADCにおいて中線であれば、△ADCの重心G’は線分OD上にあることが言えます。

さいごに、線分OB , ODはともに線分BDの一部であるので、重心G , G’は線分BD上にあることが言えます。

次は $BD:GG’$ を求めます。重心による中線の内分比を書き込めば求めることができますが、$OB = OD$ であることに注目するとより求めやすくなります。

問(1)の解答例
\begin{align*}
&\quad BG : GO = CG’ : G’O = 2:1 \\[ 5pt ]
&OB = OD \ \text{より} \\[ 5pt ]
&\quad BG = CG’ \ , \ GO = G’O \\[ 5pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad BD : GG’ = (OB + OD) : (GO + G’O) \\[ 5pt ]
&OB : GO = OD : G’O = 3 : 1 \ \text{より} \\[ 5pt ]
&\quad BD : GG’ = (3GO + 3G’O) : (GO + G’O) \\[ 5pt ]
&\quad BD : GG’ = 3(GO + G’O) : (GO + G’O)
\end{align*}

解答例の続きは以下のようになります。

重心を扱った問題問(2)の解答例

図形の証明問題では、図形の定義や性質を上手に利用する必要があります。図形の定義や性質をしっかり覚えておきましょう。

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オススメその1

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[affi id=27]

さいごに、もう一度、頭の中を整理しよう

  • 中線は、三角形の頂点と対辺の中点とを結ぶ線分。
  • 重心は、三角形の3本の中線の交点。
  • 重心は、中線を頂点の方から $2:1$ に内分する。
  • 重心を頂点にもつ3つの三角形は、面積が等しい。