図形の性質｜重心について
重心を扱った問題を解いてみよう
次の問題を考えてみましょう。
問１の解答・解説
問１
図において、点 $G$ は $\triangle {ABC}$ の重心である。辺 $AB$ 上に点 $P$ をとるとき、$\triangle {BPG}$ と $\triangle {BPM}$ の面積比を求めよ。
問１では、△ＢＰＧと△ＢＰＭの面積比を求めます。
△ＢＰＧと△ＢＰＭにおいて、底辺をそれぞれＢＧ，ＢＭとすると、頂点Ｐから下した垂線の長さが高さとなります。ですから、△ＢＰＧと△ＢＰＭは高さが等しい三角形となります。
このことに気付けば、（面積比）＝（底辺の比）を利用する方針が思い浮かぶでしょう。この関係から、△ＢＰＧと△ＢＰＭの面積比を求めるには、線分ＢＧと線分ＢＭの比を考えれば良いことが分かります。
一般に、１つの三角形を２つの三角形に分割した図形の場合、高さが等しくなる。高さが等しければ（面積比）＝（底辺比）を利用できる。
線分ＢＭは重心Ｇを通るので中線です。重心の性質から、重心Ｇは線分ＢＭを２：１に内分します。この内分比を利用すれば、ＢＧとＢＭの比を求めることができます。
問１の解答例 1⃣
$\triangle {BPG}$ と $\triangle {BPM}$ の高さはともに等しいので
\begin{align*} \quad \triangle {BPG} : \triangle {BPM} = BG: BM \end{align*}が成り立つ。
ここで
\begin{align*} \quad BG : GM = 2:1 \end{align*}より
\begin{align*} \quad BG : BM = 2 : 3 \end{align*}
底辺の比が面積比に等しいので、得られた比が面積比となります。
問１の解答例 2⃣
\begin{align*} &\vdots \\[ 7pt ] \quad BG &: BM = 2 : 3 \end{align*}したがって
\begin{align*} \quad \triangle {BPG} : \triangle {BPM} = 2: 3 \end{align*}問１のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。
問２の解答・解説
問２
平行四辺形 $ABCD$ について、$\triangle {ABC}$ の重心 $G$ と $\triangle {ADC}$ の重心 $G’$ は線分 $BD$ 上にあることを示せ。また、$BD:GG’$ を求めよ。
問２では、２つの重心が同一線分上にあることを証明します。また、線分の比を求めます。
まず、△ＡＢＣの重心Ｇと△ＡＤＣの重心Ｇ’が線分ＢＤ上にあることを証明します。
重心を通る線分を考えてみると、そのような線分は中線以外に思いつきません。
２つの重心が線分ＢＤ上にあるということは、重心を通る中線も線分ＢＤ上にあるということです。
言い換えれば、中線が線分ＢＤに重なるということです。このことを示せないかを考えましょう。
図のように、平行四辺形の２つの対角線の交点をＯとおきます。平行四辺形の対角線ＡＣ，ＢＤは互いに他を二等分するという性質をもちます。
平行四辺形の対角線の性質
$2$ 本の対角線は互いに他を二等分するので
\begin{align*} \quad OA = OC \ , \ OB = OD \end{align*}（※図の平行四辺形を参照）
この対角線の性質から、点Ｏは線分ＡＣの中点になります。このとき、線分ＯＢは△ＡＢＣにおける中線になり、線分ＯＤは△ＡＤＣにおける中線になります。
線分ＯＢが中線であれば、△ＡＢＣにおいて重心Ｇは線分ＯＢ上にあると言えます。
同様に、線分ＯＤが中線であれば、△ＡＤＣにおいて重心Ｇ’は線分ＯＤ上にあると言えます。
さいごに、線分ＯＢ，ＯＤはともに線分ＢＤの一部であるので、重心Ｇ，Ｇ’は線分ＢＤ上にあることが示せます。
次に、ＢＤ：ＧＧ’を求めます。重心による中線の内分比を書き込めばすぐに分かります。
ここでは、ＯＢ＝ＯＤに注目して求めています。後述する記述例とは異なりますが、こんな答案もあることを知っておくと良いでしょう。
問２の解答例
$2$ 点 $G \ , \ G’$ は重心であるので
\begin{align*} \quad BG : GO = DG’ : G’O = 2:1 \end{align*}$OB = OD$ より
\begin{align*} \quad BG = DG’ \ , \ GO = G’O \end{align*}よって
\begin{align*} \quad BD : GG’ = \left(OB + OD \right) : \left(GO + G’O \right) \end{align*}また、$OB : GO = OD : G’O = 3 : 1$ より
\begin{align*} \quad OB = 3GO \ , \ OD = 3G’O \end{align*}よって
\begin{align*} \quad BD : GG’ &= \left(3GO + 3G’O \right) : \left(GO + G’O \right) \\[ 7pt ] &= 3\left(GO + G’O \right) : \left(GO + G’O \right) \end{align*}したがって
\begin{align*} \quad BD : GG’ = 3 : 1 \end{align*}線分の比を求めること自体はそれほど難しくありません。しかし、比を求める過程を記述するのは意外と難しいです。図形を扱った証明問題を多くこなしておいた方が良いでしょう。
問２のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。
図形の証明問題では、図形の定義や性質を上手に利用する必要があります。図形の定義や性質をしっかり覚えておきましょう。
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さいごに、もう一度、頭の中を整理しよう
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- 重心は三角形の３本の中線の交点。
- 重心は中線を頂点の方から２：１に内分する。
- 重心を頂点にもつ３つの三角形は、面積が等しい。