複素数と方程式｜実数解からの係数決定について
今回は、実数解からの係数決定について学習しましょう。解から係数を決定することは、以前にも学習しています。
これまでは２次方程式が中心でしたが、ここでは、主に実数解を用いて、３次方程式や４次方程式などの高次方程式の係数を決定します。
方程式とその解との関係
方程式とその解との関係は、以下のように表されます。
方程式とその解との関係 1⃣
当たり前ですが、解を方程式に代入すると等式が成り立ちます。右辺が０なので、解を代入したとき、左辺も０となります。等式が成り立つのは、解を方程式に代入したときだけです。
また、このような言い方もできます。
方程式とその解との関係 2⃣
これは剰余の定理や因数定理を考えると理解できるでしょう。
左辺に解ｘ＝αを代入したとき、式の値が０となります。剰余の定理から、左辺を１次式ｘ－αで割った余りが０となるということです。
１次式ｘ－αで割った余りが０となるので、因数定理が成り立ちます。ですから、左辺は１次式ｘ－αを因数にもつことが分かります。
方程式とその解との関係まとめ
以上のことから、方程式の解が分かれば、左辺の因数を知ることができます。
たとえば、３次方程式の解が３つのうち２つ分かっていれば、２つの因数を知ることができます。この２つの因数を用いれば、残りの解や因数を求めることができます。
解から係数を決定してみよう
解から係数を決定してみましょう。ここでは、主に実数解を用います。
例題
例題の解答・解説
例題は、３次方程式の係数や定数項を求め、さらに残りの解を求める問題です。残りの解を求めるには、方程式の係数が決まる必要があります。方程式を決定することを優先しましょう。
３つの解のうち２つが与えられています。この２つの解を上手に使います。
例題の解答例 1⃣
方程式とその解との関係を利用すると、定数ａ，ｂについての方程式が２つ得られます。
未知のものが２個なら、関係式も２個必要。
これらを連立して解きます。
例題の解答例 2⃣
定数ａ，ｂの値から方程式の係数が決まりました。これで、残りの解を求めることができます。与えられた解から左辺の因数に注目します。
例題の解答例 3⃣
因数を利用した因数分解では、左辺を因数で割るのが基本的な解法です。
左辺が２つの因数をもつので、その積である２次式で左辺を割り算します（筆算は省略）。残りの因数（商）は１次式となり、余りはもちろん０となります。この結果を用いて左辺を因数分解します。
他の解法として、２つの因数がそれぞれ１次式なので、組立除法を２回行っても良いでしょう。組立除法の方がお勧めです。
左辺を因数分解する方法
- 因数の積（例題では２次式）で左辺を割る。
- 因数（１次式）ごとに組立除法を行う。
- 恒等式による係数比較。
組立除法のやり方についてはすでに学習済みです。以下の記事が参考になるでしょう。
恒等式による係数比較の上手な使い方
恒等式による係数比較では、方程式の係数が決まった後でなら、定数項だけに注目すれば良いので簡単です。
解答例3⃣を差し替えるのであれば、以下のようになります。
例題の解答例 3⃣ の代わり
係数比較では、必要な項の係数だけに注目します。すべて展開する必要がないので、それほど大きな負担になりません。
例題の別解例
最初から恒等式による係数比較によって解くこともできます。
例題の別解例
右辺を展開して整理するときにミスしやすいです。丁寧に変形しましょう。
次は、実数解からの係数決定を扱った問題を実際に解いてみましょう。