確率｜反復試行の確率について

11/23/2021数学Ａ

反復試行を扱った問題を解いてみよう

次の問題を考えてみましょう。

問１の解答・解説

問１

$1$ 枚のコインを $5$ 回投げるとき、表が $2$ 回出る確率を求めよ。

問１では、「コインを投げる」という試行が独立に繰り返し行われています。試行が独立に繰り返し行われるので、反復試行です。

コインを５回投げて表が２回出るということは、裏が３回出るということです。表が出る事象の余事象は、裏が出る事象です。

コインを１回投げたとき、表が出る確率と裏が出る確率は以下のようになります。

問１の解答例 1⃣

$1$ 枚のコインを投げるとき、出方の場合の数は $2$ 通り。

表が出る場合の数は $1$ 通りなので、その確率は

$\begin{align*} \quad \frac{1}{2} \end{align*}$

また、裏が出る事象は表が出る事象の余事象なので、その確率は

$\begin{align*} \quad 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \end{align*}$

裏が出る事象は、表が出る事象の余事象です。表のことだけでなく、裏のことも忘れないようにしましょう。

以上をもとに反復試行の確率の式に代入すると、表が２回出る確率を求めることができます。

問１の解答例 2⃣

$1$ 枚のコインを投げるとき、出方の場合の数は $2$ 通り。

表が出る場合の数は $1$ 通りなので、その確率は

$\begin{align*} \quad \frac{1}{2} \end{align*}$

また、裏が出る事象は表が出る事象の余事象なので、その確率は

$\begin{align*} \quad 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \end{align*}$

したがって、 $1$ 枚のコインを $5$ 回投げるとき、表が $2$ 回出る確率は

$\begin{align*} \quad {}_5 \mathrm{ C }_2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{2} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{3} \end{align*}$

よって

$\begin{align*} \quad {}_5 \mathrm{ C }_2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{2} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{3} &= \frac{5 \cdot 4}{2} \cdot \frac{1}{2^{2}} \cdot \frac{1}{2^{3}} \\[ 7pt ] &= \frac{5}{16} \end{align*}$

問１のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。

表や裏が出る確率をわざわざ計算するのは面倒なので、覚えておきましょう。

覚えておきたい確率

$1$ 枚のコインを投げて、表が出る確率

$\begin{align*} \quad \frac{1}{2} \end{align*}$

$1$ 枚のコインを投げて、裏が出る確率

$\begin{align*} \quad \frac{1}{2} \end{align*}$

問２の解答・解説

問２

サイコロを $4$ 回投げるとき、偶数の目が $2$ 回出る確率を求めよ。

問２では、「サイコロを投げる」という試行が独立に繰り返し行われています。試行が独立に繰り返し行われるので、反復試行です。

サイコロを４回投げて偶数の目が２回出るということは、奇数が２回出るということです。偶数が出る事象の余事象は、奇数が出る事象です。

サイコロを１回投げたとき、偶数の目が出る確率と奇数の目が出る確率は以下のようになります。

問２の解答例 1⃣

$1$ 個のサイコロを投げるとき、目の出方の場合の数は $6$ 通り。

偶数の目が出る場合の数は $3$ 通りなので、その確率は

$\begin{align*} \quad \frac{3}{6}=\frac{1}{2} \end{align*}$

また、奇数の目が出る事象は偶数の目が出る事象の余事象なので、その確率は

$\begin{align*} \quad 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \end{align*}$

奇数の目が出る事象は、偶数の目が出る事象の余事象です。偶数の目のことだけでなく、奇数の目のことも忘れないようにしましょう。

以上をもとに反復試行の確率の式に代入すると、偶数の目が２回出る確率を求めることができます。

問２の解答例 2⃣

$1$ 個のサイコロを投げるとき、目の出方の場合の数は $6$ 通り。

偶数の目が出る場合の数は $3$ 通りなので、その確率は

$\begin{align*} \quad \frac{3}{6}=\frac{1}{2} \end{align*}$

また、奇数の目が出る事象は偶数の目が出る事象の余事象なので、その確率は

$\begin{align*} \quad 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \end{align*}$

したがって、 $1$ 個のサイコロを $4$ 回投げるとき、偶数の目が $2$ 回出る確率は

$\begin{align*} \quad {}_4 \mathrm{ C }_2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{2} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{2} \end{align*}$

よって

$\begin{align*} \quad {}_4 \mathrm{ C }_2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{2} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{2} &= \frac{4 \cdot 3}{2} \cdot \frac{1}{2^{2}} \cdot \frac{1}{2^{2}} \\[ 7pt ] &= \frac{3}{8} \end{align*}$

サイコロやコインを投げる試行は、問題の題材としてよく扱われます。特定の事象が起こる確率を覚えておくと直ぐに立式できるでしょう。

問２のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。