確率|反復試行の確率について

05/20/2017数学A確率,独立な試行,反復試行

確率

反復試行を扱った問題を解いてみよう

次の問題を考えてみましょう。

反復試行を扱った問題

第1問の解答・解説

第1問
1枚のコインを5回投げるとき、表が2回出る確率

「コインを投げる」という試行が独立に繰り返し行われているので、反復試行です。5回投げて表が2回出るとき、裏が3回出ることになります。

コインを1回投げたとき、表が出る確率と裏が出る確率は以下のようになります。

表と裏が出る確率

  • 表が出る確率 = $\frac{1}{2}$
  • 裏が出る確率 = $1-\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

裏が出る事象は、表が出る事象の余事象です。表のことだけでなく、裏のことも忘れないようにしましょう。

以上をもとに反復試行の確率の式に代入すると、表が2回出る確率を求めることができます。

第1問の解答例
\begin{equation*}
{}_5 \mathrm{ C }_2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{2} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{3}
\end{equation*}

解答例の続きは以下のようになります。

反復試行を扱った問題第1問の解答例

覚えておきたい確率

  • 表が出る確率 = $\frac{1}{2}$
  • 裏が出る確率 = $\frac{1}{2}$

第2問の解答・解説

第2問
サイコロを4回投げるとき、偶数の目が2回出る確率

「サイコロを投げる」という試行が独立に繰り返し行われているので、反復試行です。4回投げて偶数の目が2回出るとき、奇数の目が2回出ることになります。

サイコロを1回投げたとき、偶数の目が出る確率と奇数の目が出る確率は以下のようになります。

偶数の目と奇数の目が出る確率

  • 偶数の目が出る確率 = $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
  • 奇数の目が出る確率 = $1-\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

奇数の目が出る事象は、偶数の目が出る事象の余事象です。偶数の目のことだけでなく、奇数の目のことも忘れないようにしましょう。

以上をもとに反復試行の確率の式に代入すると、偶数の目が2回出る確率を求めることができます。

第2問の解答例
\begin{equation*}
{}_4 \mathrm{ C }_2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{2} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{2}
\end{equation*}

サイコロやコインを投げる試行はよく扱われるので、特定の事象が起こる確率を覚えておくと直ぐに立式できます。解答例の続きは以下のようになります。

反復試行を扱った問題第2問の解答例

覚えておきたい確率

  • 偶数の目が出る確率 = $\frac{1}{2}$
  • 奇数の目が出る確率 = $\frac{1}{2}$
Recommended books

単元ごとに得意・不得意がある場合、短期間で学習できる教材があると便利です。

オススメその1-『これならわかる! 図解 場合の数と確率

図が豊富で丁寧に解説されています。また、多くの例題を扱っています。重複なく、漏れがないように数えるための考え方、数え方の基本をマスターできる教材です。

以下、2冊は短期間で学習するのに適した問題集です。

オススメその2-『SPEED攻略10日間 数学 場合の数と確率

Z会の教材は難しいというイメージがありますが、この教材は基本レベルから扱っています。例題・類題・入試問題を繰り返し演習する構成になっており、典型問題の考え方や解き方を理解し、身につけることができます。

オススメその3-『大学入試10日で極める場合の数と確率 (理系のための分野別問題集)

出版年月日が非常に新しく、理系の人向けの教材です。短期間で、基礎から難関大突破レベルまで効率的に学習できます。主要大学の入試において、近年出題率の高い分野の問題が掲載されています。また、補充問題も充実しているので、これ1冊で演習量もカバーできます。

さいごに、もう一度、頭の中を整理しよう

  • 反復試行とは、ある試行を独立に繰り返し行う試行のこと。
  • 反復試行の結果は、事象の並びが異なるだけですべて同じ確率になる。
  • 反復試行の結果の総数は、組合せの総数で表される。
  • 反復試行の確率は、結果の総数と、結果が起こる確率の積で表される。
  • 反復試行の確率を求めるとき、余事象が起こる確率を忘れないようにしよう。