図形と方程式|平面上の2点間の距離について

12/29/2019数学2絶対値,距離,図形と方程式

平面上の2点間の距離を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。


\begin{align*}
&\text{平面上の2点を $A(-3 \ , \ 2) \ , \ B(4 \ , \ 0)$ とする。距離ABを求めよ。また、x軸上、y軸上にあって、} \\[ 5pt ]
&\text{2点A,Bから等距離にある点の座標をそれぞれ求めよ。}
\end{align*}

問の解答・解説

平面上の2点間の距離を求めるには、公式を利用します。正しく数を代入して計算しましょう。

問の解答例①
\begin{align*}
&\text{距離ABは} \\[ 5pt ]
&\quad AB=\sqrt{\bigl\{4-(-3) \bigr\}^{\scriptsize{2}}+\bigl(0-2 \bigr)^{\scriptsize{2}}} \\[ 7pt ]
&\text{より} \\[ 5pt ]
&\quad AB=\sqrt{49+4} \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad AB=\sqrt{53}
\end{align*}

次は、2点A,Bから等距離にある点を求めます。図示すると以下の通りです。上手に作図できると、自分の解答が妥当かどうかを判断できます。これができると非常に有効なので、作図する習慣をつけましょう。

2点から等しい距離にある点

先にx軸上の点を求めます。x軸上の点の座標を自分で定義して、2点間の距離を利用して方程式を導きます。

問の解答例②
\begin{align*}
&\text{2点A,Bから等距離になるx軸上の点を $P(x \ , \ 0)$ とする。} \\[ 5pt ]
&\text{このとき} \\[ 5pt ]
&\quad AP=BP \quad \text{すなわち} \quad {AP}^{\scriptsize{2}}={BP}^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ]
&\text{が成り立つので、} \\[ 5pt ]
&\quad \bigl\{x-(-3) \bigr\}^{\scriptsize{2}} + \bigl(0-2 \bigr)^{\scriptsize{2}} = \bigl(x-4 \bigr)^{\scriptsize{2}}+\bigl(0-0 \bigr)^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ]
&\text{これを整理すると} \\[ 5pt ]
&\quad 14x=3 \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad x=\frac{3}{14} \\[ 7pt ]
&\text{したがって、点Pの座標は} \\[ 5pt ]
&\quad \biggl(\frac{3}{14} \ , \ 0 \biggr)
\end{align*}

2点間の距離を用いて方程式を導くとき、公式をそのまま用いると根号が出てきます。根号が邪魔なので、先に両辺を2乗しておくとスムーズに方程式を扱えます。

2点間の距離で方程式を導くときは、距離を2乗して根号を外そう。

最後に2点A,Bから等距離にあるy軸上の点を求めます。x軸上の点のときと同じ要領で解きます。

問の解答例③
\begin{align*}
&\text{2点A,Bから等距離になるy軸上の点を $Q(0 \ , \ y)$ とする。} \\[ 5pt ]
&\text{このとき} \\[ 5pt ]
&\quad AQ=BQ \quad \text{すなわち} \quad {AQ}^{\scriptsize{2}}={BQ}^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ]
&\text{が成り立つので、} \\[ 5pt ]
&\quad \bigl\{0-(-3) \bigr\}^{\scriptsize{2}}+\bigl(y-2 \bigr)^{\scriptsize{2}} = \bigl(0-4 \bigr)^{\scriptsize{2}}+\bigl(y-0 \bigr)^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ]
&\text{これを整理すると} \\[ 5pt ]
&\quad -4y=3 \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad y=-\frac{3}{4} \\[ 7pt ]
&\text{したがって、点Qの座標は} \\[ 5pt ]
&\quad \biggl(0 \ , \ -\frac{3}{4} \biggr)
\end{align*}

2点間の距離を求めるときに一番多いミスは、差を求めるときの符号です。習熟度が低いとミスしやすいので、演習を多くこなしておきましょう。

また、距離を2乗する解法は、軌跡やベクトルなどを扱った問題でもよく用いられます。しっかりマスターしておきましょう。

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さいごにもう一度まとめ

  • 数直線上の2点間の距離は、座標の差を絶対値の記号で挟んでおこう。
  • 平面上の2点間の距離は、数直線上の2点間の距離と三平方の定理との組み合わせで得られる。
  • 座標の差は、大きい方から小さい方を引き算しよう。
  • 距離から方程式を導くときは、距離を2乗して根号を外しておこう。
  • 符号のミスに気を付けよう。