図形と計量｜正弦定理・余弦定理、面積への応用について

12/18/2021数学１

円に内接する四角形を扱った問題を解いてみよう

次の問題を考えてみましょう。円に内接する四角形を扱った問題です。こちらも基本的ですが、頻出の問題です。

問２(1)の解答・解説

問２(1)

円に内接する四角形 $ABCD$ において、$AB=2 \ , \ BC=1 \ , \ CD=3 \ , \ DA=2$ であるとき、次の問い答えよ。

$\triangle ABD$ において、$BD^{2}$ を $\cos A$ で表せ。

問２(1)は、ＢＤ²をｃｏｓＡで表す問題です。与えられた条件をもとに作図しましょう。

線分ＢＤは四角形ＡＢＣＤの対角線ですが、△ＡＢＤの一辺でもあります。「△ＡＢＤにおいて」や「ｃｏｓＡを使って」という文言から、余弦定理を利用することが予想できます。

問２(1)の解答例

$\triangle ABD$ において、余弦定理より

\begin{align*} \quad BD^{2} &= AB^{2} + AD^{2} -2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos A \\[ 7pt ] &= 2^{2} + 2^{2} -2 \cdot 2 \cdot 2 \cos A \\[ 7pt ] &= 4 + 4 -8 \cos A \\[ 7pt ] &= 8-8 \cos A \end{align*}

したがって

\begin{align*} \quad BD^{2} = 8-8 \cos A \end{align*}

公式に使われている文字と変わっていても惑わされず、公式を使いこなせるようになっておきましょう。

問２(2)の解答・解説

問２(2)

円に内接する四角形 $ABCD$ において、$AB=2 \ , \ BC=1 \ , \ CD=3 \ , \ DA=2$ であるとき、次の問い答えよ。

$\triangle BCD$ において、$BD^{2}$ を $\cos C$ で表せ。

問２(2)も(1)と同じように、△ＢＣＤにおいて余弦定理を利用します。

問２(2)の解答例

$\triangle BCD$ において、余弦定理より

\begin{align*} \quad BD^{2} &= BC^{2} + CD^{2} -2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos C \\[ 7pt ] &= 1^{2} + 3^{2} -2 \cdot 1 \cdot 3 \cos C \\[ 7pt ] &= 1 + 9 -6 \cos C \\[ 7pt ] &= 10-6 \cos C \end{align*}

したがって

\begin{align*} \quad BD^{2} = 10-6 \cos C \end{align*}

問２(1)と同じように、公式と使っている文字が変わっても立式できるようにしておきましょう。

問２(3)の解答・解説

問２(3)

円に内接する四角形 $ABCD$ において、$AB=2 \ , \ BC=1 \ , \ CD=3 \ , \ DA=2$ であるとき、次の問い答えよ。

$\cos A$ と $\sin A$ の値を求めよ。

問２(3)は、ｃｏｓＡとｓｉｎＡの値をそれぞれ求める問題です。問２(1)，(2)では、ともにＢＤ²を求めたので、等式を作ることができます。そこから式変形していきます。

問２(3)の解答例 1⃣

\begin{align*} &\quad BD^{2} = 8-8 \cos A \\[ 7pt ] &\quad BD^{2} = 10-6 \cos C \end{align*}

より

\begin{align*} &\quad 8-8 \cos A = 10-6 \cos C \\[ 7pt ] &\quad 4-4 \cos A = 5-3 \cos C \end{align*}

よって

\begin{align*} \quad 4 \cos A-3 \cos C = -1 \end{align*}

とりあえず、(1)，(2)の結果を利用しましたが、このままでは先に進めません。そこで図をもう一度よく観察します。

∠Ａと∠Ｃは、円に内接する四角形の対角です。これらの和は１８０°です。このことを利用すると、∠Ｃを∠Ａで表すことができます。

円に内接する四角形の対角の和と、三角比の相互関係を利用して変形します。

問２(3)の解答例 2⃣

\begin{align*} \quad &\vdots \\[ 7pt ] \quad 4 \cos A &-3 \cos C = -1 \end{align*}

$C = 180^{\circ}-A$ より

\begin{align*} &\quad 4 \cos A-3 \cos C = -1 \\[ 7pt ] &\quad 4 \cos A-3 \cos \left( 180^{\circ}-A \right) = -1 \\[ 7pt ] &\quad 4 \cos A-3 \left( -\cos A \right) = -1 \\[ 7pt ] &\quad 4 \cos A+3 \cos A = -1 \\[ 7pt ] &\quad 7 \cos A= -1 \\[ 7pt ] &\quad \cos A= -\frac{1}{7} \end{align*}

やっとｃｏｓＡの値を求めることができました。ここからさらにｓｉｎＡの値を求めます。三角比の相互関係を利用します。

問２(3)の解答例 3⃣

\begin{align*} \quad &\vdots \\[ 7pt ] \quad \cos A &= -\frac{1}{7} \end{align*}

また

\begin{align*} \quad \sin^{\scriptsize{2}}{A} + \cos^{\scriptsize{2}}{A} = 1 \end{align*}

より

\begin{align*} \quad \sin^{\scriptsize{2}}{A} = 1 – \cos^{\scriptsize{2}}{A} \end{align*}

よって

\begin{align*} \quad \sin^{2}{A} &= 1-\left( -\frac{1}{7} \right)^{2} \\[ 7pt ] &= 1-\frac{1}{49} \\[ 7pt ] &= \frac{48}{49} \end{align*}

ここで

\begin{align*} \quad 0^{\circ} \lt A \lt 180^{\circ} \end{align*}

より

\begin{align*} \quad \sin A \gt 0 \end{align*}

したがって

\begin{align*} \quad \sin A = \frac{4\sqrt{3}}{7} \end{align*}

さいごにｓｉｎＡの値の吟味を忘れないようにしましょう。だいぶ長くなったので、流れをまとめておきます。

円に内接する四角形でｃｏｓＡ，ｓｉｎＡの求め方

四角形の対角線で２つの三角形を作る。
それぞれの三角形において、対角線の長さを求める式を余弦定理で導出する。
導出した２式から等式を作り、ｃｏｓＡについて解く。このとき対角の和を利用する。
三角比の相互関係からｓｉｎＡを求める。

問２(3)は初見であれば難しく感じるかもしれません。しかし、(1)からの一連の流れは入試でも頻出なので何とかマスターしたいところです。

問２(4)の解答・解説

問２(4)

円に内接する四角形 $ABCD$ において、$AB=2 \ , \ BC=1 \ , \ CD=3 \ , \ DA=2$ であるとき、次の問い答えよ。

四角形 $ABCD$ の面積を求めよ。

問２(4)は、四角形ＡＢＣＤの面積を求める問題です。すでに対角線ＢＤで２つの三角形に分割されているので、四角形ＡＢＣＤの面積が２つの三角形の和に等しいことを利用します。

問２(4)の解答例 1⃣

四角形 $ABCD$ の面積を $S$ とすると

\begin{align*} \quad S = \triangle ABD + \triangle BCD \end{align*}

より

\begin{align*} S &= \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin A + \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD \cdot \sin C \\[ 7pt ] &= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sin A + \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 3 \cdot \sin C \\[ 7pt ] &= 2 \sin A + \frac{3}{2} \sin C \end{align*}

ここで気付いたと思いますが、ｓｉｎＣの値が分かりません。しかし、ここでも対角の和を利用すれば、ｓｉｎＣをｓｉｎＡで表すことができます。

問２(4)の解答例 2⃣

\begin{align*} \quad &\vdots \\[ 7pt ] \quad &= 2 \sin A + \frac{3}{2} \sin C \end{align*}

ここで

\begin{align*} \quad C = 180^{\circ}-A \end{align*}

より

\begin{align*} \quad S &= 2 \sin A + \frac{3}{2} \sin C \\[ 7pt ] &= 2 \sin A + \frac{3}{2} \sin \left( 180^{\circ}-A \right) \\[ 7pt ] &= 2 \sin A + \frac{3}{2} \sin A \\[ 7pt ] &= \frac{7}{2} \sin A \end{align*}

$(3)$ の結果から

\begin{align*} \quad \sin A = \frac{4\sqrt{3}}{7} \end{align*}

より

\begin{align*} \quad S &= \frac{7}{2} \cdot \frac{4\sqrt{3}}{7} \\[ 7pt ] &= 2\sqrt{3} \end{align*}

(3)の結果を利用するので、計算ミスに注意しましょう。

問２のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。計算のやり方が若干異なるかもしれませんが、方針に変わりはありません。自分なりに負担が少なくミスをしにくい計算のやり方を研究して下さい。

正弦定理や余弦定理に埋もれがちですが、三角比の相互関係の利用頻度は意外と高いです。しっかりと使いこなせるようにしておきたいところです。

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また、今回の改訂により、近年の大学入試（上位から下位まで幅広く）で頻出の空間図形の問題を厚くしました。