数と式｜整式の展開に関する問題を解いてみよう

10/16/2021数学１

整式の展開を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

問

次の整式を展開せよ。

\begin{align*} &1. \quad \left(a-b+c \right)^2 \\[ 7pt ] &2. \quad \left(a+b-2 \right)\left(a+b+4 \right) \\[ 7pt ] &3. \quad \left(x-2 \right)^2 \left(x+2 \right)^2 \end{align*}

基本的な問題で乗法公式に慣れたら次は応用問題です。応用レベルになると、様々な工夫が必要になります。

公式を上手く利用するための工夫

数種類の公式を利用する
公式を何度か利用する
与式を変形してから公式を利用する

与式に公式がそのまま当てはまらないことが多いので、乗法公式を利用できるように状況を自分で整える必要があります。

問１の解答・解説

問１

\begin{align*} \quad \left(a-b+c \right)^2 \end{align*}

与式は、３項からなる多項式（３項式）を２乗した式です。

解法はいくつかあります。

自分の解きやすい解法を選択しよう

分配法則を利用して展開する
３項を２項に減らした後に乗法公式を用いて展開する（１番目の公式）
乗法公式を用いて展開する（５番目の公式）

仮に乗法公式を覚えていなくても、展開の本質が分配法則だと知っていれば展開することはできます。

正直なところ、５番目の乗法公式を使う場面は、数学１ではあまり登場しません。教材によっては扱っていない可能性もあります。

また、分配法則で展開する場合、分配法則を３セット行うので煩雑になります。これらを考慮すると、３項から２項に減らしてから１番目の乗法公式を利用することが無難です。

多項式を１つの文字に置き換える工夫は良く利用される。使えるようにしておこう。

カッコ内の多項式ａ－ｂを１つの文字に置き換えることで、２項からなる多項式（２項式）を２乗した形に置き換えることができます。

問１の解答例 1⃣

\begin{align*} \quad a-b=X \end{align*}

とおくと、与式は

\begin{align*} \quad &\left(a-b+c \right)^2 \\[ 7pt ] = \ &\left(X+c \right)^2 \end{align*}

２項式に置き換えたら、１番目の乗法公式に当てはめて展開します。

問１の解答例 2⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &= \left(X+c \right)^2 \\[ 7pt ] &= X^2 +2cX+c^2 \end{align*}

ここで注意したいのは、ａ－ｂをＸに置き換えたので、それをもとに戻さなければなりません。

問１の解答例 3⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &= X^2 +2cX+c^2 \\[ 7pt ] &= \left(a-b \right)^2 +2c\left(a-b \right)+c^2 \end{align*}

１番目の項では乗法公式で展開し、２番目の項では分配法則で展開します。

問１の解答例 4⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &= \underline{\left(a-b \right)^2} \underline{\underline{+2c \left(a-b \right)}}+c^2 \\[ 7pt ] &= \underline{a^2 -2ab+b^2} \underline{\underline{+2ca-2bc}}+c^2 \\[ 7pt ] &= a^2 +b^2 +c^2 -2ab-2bc+2ca \end{align*}

計算量は少ないとは言えませんが、「項の数を減らす」という考え方が大切です。このような工夫によって、基本的な公式を利用できるようになります。

問１の考え方と解答例

\begin{align*} \text{与式} \quad \left(a-b+c \right)^2 \end{align*}

考え方

\begin{align*} \quad a-b=X \end{align*}

とおいて

\begin{align*} \quad \left(a+b \right)^2 = a^2 +2ab+b^2 \end{align*}

を利用する。このとき

\begin{align*} &\quad a=X \\[ 7pt ] &\quad b=c \end{align*}

に置き換えればよい。

ただし、展開後に

\begin{align*} \quad X=a-b \end{align*}

に戻して再び展開する。

解答例

\begin{align*} \quad &\left(a-b+c \right)^2 \\[ 7pt ] = \ &\left(X+c \right)^2 \\[ 7pt ] = \ &x^2 +2cX+c^2 \\[ 7pt ] = \ &\left(a-b \right)^2 +2c\left(a-b \right)+c^2 \\[ 7pt ] = \ &a^2 -2ab+b^2 +2ca-2bc+c^2 \\[ 7pt ] = \ &a^2 +b^2 +c^2 -2ab-2bc+2ca \end{align*}

別解として、乗法公式を当てはめて展開する解法もあります。公式と与式との対応関係を確認して展開します。符号に注意しましょう。

公式と与式の対応関係

\begin{align*} &\quad \left(a+b+c \right)^2 \\[ 7pt ] &\quad \left(a-b+c \right)^2 =\left\{a+\left(-b \right)+c \right\}^2 \end{align*}

$2$ つの式を比べると

\begin{align*} &\quad a=a \\[ 7pt ] &\quad b=-b \\[ 7pt ] &\quad c=c \end{align*}

与式に続く形で展開後の式を書きます。

与式の展開

\begin{align*} \left(a+b+c \right)^2 &= a^2 +b^2 +c^2 +2ab+2bc+2ca \\[ 10pt ] \left(a-b+c \right)^2 &= a^2 +\left(-b \right)^2 +c^2 +2a \cdot \left(-b \right)+2 \cdot \left(-b \right) \cdot c+2ca \end{align*}

展開できたら、各項を整理すると終了です。

問１の考え方と別解例

\begin{align*} \text{与式} \quad \left(a-b+c \right)^2 = \left\{a+\left(-b \right)+c \right\}^2 \end{align*}

考え方

\begin{align*} \left(a+b+c \right)^2 = a^2 +b^2 +c^2 +2ab+2bc+2ca \end{align*}

を利用する。このとき

\begin{align*} &\quad a=a \\[ 7pt ] &\quad b=-b \\[ 7pt ] &\quad c=c \end{align*}

に置き換えればよい。

解答例

\begin{align*} \quad &\left(a-b+c \right)^2 \\[ 7pt ] = \ &a^2 +\left(-b \right)^2 +c^2 +2a \cdot \left(-b \right)+2 \cdot \left(-b \right) \cdot c+2ca \\[ 7pt ] = \ &a^2 +b^2 +c^2 -2ab-2bc+2ca \end{align*}

やはり乗法公式を使った方が楽に展開できます。単純に分配法則を利用する解法は、最終手段にしましょう。

問２の解答・解説

問２

\begin{align*} \quad \left(a+b-2 \right)\left(a+b+4 \right) \end{align*}

与式を見ると、２つの３項式の積です。３項式を扱った公式は１つだけなので、このままでは上手くいきそうにありません。

工夫するにあたって、項の数を減らすのが真っ先に思いつきます。ただ、もう少し考えて減らします。

さらに観察すると、２つの３項式には、共通の多項式ａ＋ｂがあります。この共通の多項式を１つの文字に置き換えると、ともに２項式に置き換えることができます。

問２の解答例 1⃣

\begin{align*} \quad a+b=X \end{align*}

とおくと、与式は

\begin{align*} \quad &\left(a+b-2 \right)\left(a+b+4 \right) \\[ 7pt ] = \ &\left(X-2 \right)\left(X+4 \right) \end{align*}

置き換え後の与式は、２項式の積になりました。これで乗法公式を利用できます。

４番目の乗法公式に当てはめて展開します。

問２の解答例 2⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &= \left(X-2 \right)\left(X+4 \right) \\[ 7pt ] &= 1 \times 1 \times X^2 +\left\{1 \times 4 + \left(-2 \right) \times 1 \right\}X + \left(-2 \right) \times 4 \\[ 7pt ] &= X^2 +2X-8 \end{align*}

ａ＋ｂをＸに置き換えたので、それをもとに戻します。

問２の解答例 3⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &= X^2 +2X-8 \\[ 7pt ] &= \left(a+b \right)^2 +2\left(a+b \right)-8 \end{align*}

１番目の項では乗法公式で展開し、２番目の項では分配法則で展開します。

問２の解答例 4⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &= \underline{\left(a+b \right)^2} \underline{\underline{+2\left(a+b \right)}}-8 \\[ 7pt ] &= \underline{a^2 +2ab+b^2} \underline{\underline{+2a+2b}}-8 \\[ 7pt ] &= a^2 +2ab+b^2 +2a+2b-8 \end{align*}

公式と与式の対応関係を確認して展開します。展開後、Ｘをａ－ｂに戻し、また展開します。展開が２回出てくるので注意しましょう。解答例は以下のようになります。

問２の考え方と別解例

\begin{align*} \text{与式} \quad \left(a+b-2 \right)\left(a+b+4 \right) \end{align*}

考え方

\begin{align*} \quad a+b=X \end{align*}

とおいて

\begin{align*} \quad \left(ax+b \right)\left(cx+d \right) = acx^2 +\left(ad+bc \right)x+bd \end{align*}

を利用する。このとき

\begin{align*} &\quad a=1 \\[ 7pt ] &\quad b=-2 \\[ 7pt ] &\quad c=1 \\[ 7pt ] &\quad d=4 \end{align*}

に置き換えればよい。

ただし、展開後に

\begin{align*} \quad X=a+b \end{align*}

に戻して再び展開する。

解答例

\begin{align*} \quad &\left(a+b-2 \right)\left(a+b+4 \right) \\[ 7pt ] = \ &\left(X-2 \right)\left(X+4 \right) \\[ 7pt ] = \ &X^2 +\left\{1 \cdot 4+\left(-2 \right) \cdot 1 \right\}X+\left(-2 \right) \cdot 4 \\[ 7pt ] = \ &X^2 +2X-8 \\[ 7pt ] = \ &\left(a+b \right)^2 +2\left(a+b \right)-8 \\[ 7pt ] = \ &a^2 +2ab+b^2 +2a+2b-8 \end{align*}

問２のような計算をサラッとこなせるようになれば、計算問題に関して安心して良いでしょう。

第３問の解答・解説

問３

\begin{align*} \quad \left(x-2 \right)^2 \left(x+2 \right)^2 \end{align*}

与式は、２項式の２乗の積です。２項式の２乗は、乗法公式を利用できる式です。

ただ、展開した後のことを考えてみて下さい。展開後の式はそれぞれ３項式になるので、次の展開が面倒になります。

２項式の２乗をそれぞれ展開する

\begin{align*} \quad &\left(x-2 \right)^2 \left(x+2 \right)^2 \\[ 7pt ] = \ &\left(x^2 -4x+4 \right)\left(x^2 +4x+4 \right) \end{align*}

カッコの中はそれぞれ $3$ 項式となり、次の展開が面倒になる。

展開のやり方が他にないかを考えてみます。

与式の２項式に注目すると、２つの式はともに２項目の符号だけが異なります。この形は乗法公式に当てはまります。展開しても２項式のままで項の数が増えません。

ただし、指数法則を利用して、乗法公式を利用できる状況に整える必要があります。

問３の解答例 1⃣

\begin{align*} \quad &\left(x-2 \right)^2 \left(x+2 \right)^2 \\[ 7pt ] = \ &\left\{\left(x-2 \right)\left(x+2 \right) \right\}^2 \\[ 7pt ] = \ &\left(x^2 -4 \right)^2 \end{align*}

指数法則を利用する場面は意外と多いです。しっかり使いこなせるようにしておきましょう。

さらに展開して整理します。

問３の解答例 2⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &= \left(x^2 -4 \right)^2 \\[ 7pt ] &= \left(x^2 \right)^2 +2 \cdot \left(-4 \right) \cdot x^2 +\left(-4 \right)^2 \\[ 7pt ] &= x^4 -8x^2 +16 \end{align*}

次数が大きくなりますが、公式に当てはめて展開しましょう。解答例は以下のようになります。

問３の考え方と別解例

\begin{align*} \text{与式} \quad \left(x-2 \right)^{2}\left(x+2 \right)^{2} \end{align*}

考え方

指数法則を利用して

\begin{align*} \quad \left(a+b \right)\left(a-b \right) = a^2 -b^2 \end{align*}

を利用できる形に変形する。

解答例

\begin{align*} \quad &\left(x-2 \right)^2 \left(x+2 \right)^2 \\[ 7pt ] = \ &\left\{\left(x-2 \right)\left(x+2 \right) \right\}^2 \\[ 7pt ] = \ &\left\{x^2 -2^2 \right\}^2 \\[ 7pt ] = \ &\left(x^2 -4 \right)^2 \\[ 7pt ] = \ &\left(x^2 \right)^2 +2 \cdot \left(-4 \right) \cdot x^2 +\left(-4 \right)^2 \\[ 7pt ] = \ &x^4 -8x^2 +16 \end{align*}

累乗の形なので展開したくなりますが、後の計算を考える必要がある問題です。

また、解法が複数あり、選択する解法によって難易度や計算量が変わります。難易度は決して高くありませんが、差のつきやすい良問です。

難易度の高い問題では、公式や定理をそのまま使えず、自分で状況を整える必要があるのが特徴。入試レベルでは、このような差のつきやすい問題が合否を決めるので、演習をこなして解き慣れておこう。