図形の性質｜角の二等分線と比について
比や角の二等分線を扱った問題を解いてみよう
次の問題を考えてみましょう。
最初のうちは慣れるために図が予め用意されていますが、センター試験などでは自分で作図しなければなりません。必要に応じて自分で作図するようにしましょう。
問(1)の解答・解説
問(1)
$\triangle ABC$ において、$AB=8 \ , \ BC=4$ とする。$\angle B$ の二等分線と辺 $AC$ の交点を $D$ とし、$\angle A$ の外角の二等分線と直線 $BC$ の交点を $E$ とする。$CD=2$ であるとき、次の線分の長さを求めよ。
線分 $AD$ の長さ
問題文を読みながら作図します。長さや比を書き込んでいくと、情報が多すぎて逆に見辛くなるときがあります。せっかく描いたのに良く分らない図になってしまうのは勿体ないです。
そうならないように、できるだけ大きな図を描いたり、必要な図だけを別途に抜き出したりしましょう。作図の仕方によって気付きが得られるかどうかが決まるので、よく考えて作図しましょう。
問(1)は、ＡＤの長さを求める問題です。点Ｄができる原因になった∠Ｂの二等分線に注目します。
∠Ｂの二等分線に関わる箇所だけ抜き出した図を全体図と並べて描いておきます。内角の二等分線から得られる比の関係を書き込めば準備完了です。図形を扱った問題では、大半が作図で決まります。
内角の二等分線と比の関係から、以下の比例式が成り立ちます。
問(1)の解答例 1⃣
$\angle B$ の二等分線と比の関係より
\begin{align*} \quad BA : BC = AD : CD \end{align*}$AB=8 \ , \ BC=4$ より
\begin{align*} \quad AD : CD = 8 : 4 \end{align*}よって
\begin{align*} \quad AD : CD = 2 : 1 \end{align*}
この比例式について、内項の積と外項の積の関係を利用すると、ＡＤをＣＤで表すことができます。
問(1)の解答例 2⃣
\begin{align*} &\vdots \\[ 7pt ] \quad AD : CD &= 2 : 1 \end{align*}これより
\begin{align*} \quad 1 \cdot AD &= 2 \cdot CD \\[ 5pt ] AD &= 2CD \end{align*}$CD=2$ より
\begin{align*} \quad AD = 2 \cdot 2 =4 \end{align*}問(1)のポイントと解答例をまとめると以下の通りです。
問(2)の解答・解説
問(2)
$\triangle ABC$ において、$AB=8 \ , \ BC=4$ とする。$\angle B$ の二等分線と辺 $AC$ の交点を $D$ とし、$\angle A$ の外角の二等分線と直線 $BC$ の交点を $E$ とする。$CD=2$ であるとき、次の線分の長さを求めよ。
線分 $BE$ の長さ
問(2)は、ＢＥの長さを求める問題です。点Ｅができる原因になった∠Ａの外角の二等分線に注目します。
∠Ａの外角の二等分線に関わる箇所だけ抜き出して、別途に作図します。これと全体図を並べておくと良いでしょう。なお、全体図の方には、問(1)で得られた長さを忘れずに書き込んでおきます。
外角の二等分線から得られる比の関係を書き込めば準備完了です。
外角の二等分線と比の関係から、以下の比例式が成り立ちます。
問(2)の解答例 1⃣
$\angle A$ の外角の二等分線と比の関係より
\begin{align*} \quad AB : AC = BE : CE \end{align*}$AB=8 \ , \ AC=6$ より
\begin{align*} \quad BE : CE = 8 : 6 \end{align*}よって
\begin{align*} \quad BE : CE = 4 : 3 \quad \cdots \text{①} \end{align*}
この比例式からＢＥの長さを求めたいところですが、ＣＥの長さが不明です。ですから、この比例式だけではＢＥの長さを求めることができません。
ここで、長さが分かっているＢＣを利用します。
問(2)の解答例 2⃣
\begin{align*} &\vdots \\[ 7pt ] \quad BE : CE &= 4 : 3 \quad \cdots \text{①} \end{align*}これより
\begin{align*} \quad BE : BC = 4 : 1 \end{align*}よって
\begin{align*} \quad BE = 4BC \end{align*}これと①より
\begin{align*} \quad 4BC : CE = 4 : 3 \end{align*}よって
\begin{align*} \quad 4CE &=3 \cdot 4BC \\[ 7pt ] CE &=3BC \end{align*}$BC=4$ より
\begin{align*} \quad CE =12 \end{align*}比例式を導いただけでは求めることができないので、少し工夫が必要な問題でした。問(1)よりも難易度が高い問題です。
問(2)のポイントと解答例をまとめると以下の通りです。
比較対象が分かるように比を書き込みましょう。また、比の数字が同じでも、比較対象でなければ同じ囲みにしないように気を付けましょう。
入試レベルになると、１つの三角形の中に内角や外角の二等分線が混在した問題がよく出題されます。そんなときは１つの図だけで考えずに、必要に応じて別途に作図しましょう。
作図のコツを掴めば、解ける問題が増えるので、面倒臭がらずに取り組もう。
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オススメその１
予習の際に理解が進めば授業のスピードについていくことができ、復習や課題をこなす時間も少なくて済みます。予習や復習の補助教材に向いている教材が『とってもやさしい数学』シリーズです。
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- 高校とってもやさしい数学１・Ａ 改訂版 その２：１８９ページ
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ページ数を比べると分かるように、本書の方が１冊でも遥かにページ数が少ないので、短時間でこなすことができます。
紹介した教材を使うとした場合、高校１年生であれば「とってもやさしい」シリーズで復習し、高校２，３年生であれば『高校の数学Ｉ・Ａが１冊でしっかりわかる本』と「とってもやさしい」シリーズを組み合わせて復習すると良いでしょう。
こんな人に向いています
- 定期試験や大学受験のための基礎を固めて、成績を上げたい高校生へ。
- 医療看護系入試、高卒認定試験などの対策で、短期間で数学１・Ａを理解したい方へ。
- 学び直しや頭の体操をしたい大人の方へ。
さいごに、もう一度、頭の中を整理しよう
- 内分点は線分上にある点。
- 外分点は線分の延長線上にある点で、２パターンある。
- 線分の長さを求めるために、比例式を立式しよう。
- 三角形の内角の二等分線では、対辺に内分点ができる。
- 三角形の外角の二等分線では、対辺に外分点ができる。