図形と方程式｜円上の点における接線について

08/07/2022数学２

今回は、円上の点における接線について学習しましょう。

接線に関する問題は、入試でも頻出で、共通テストレベルから大学別の個別試験レベルまで様々です。

注意したいのは、単純な図形としてだけでなく、方程式などと絡めて出題されるということです。たとえば、接点のｘ座標を求める際には方程式を利用します。

分野をまたぐ融合問題のせいで意外と難易度が高いので、何度も演習を重ねておきましょう。

円の接線

原点を中心とする円の接線の方程式

前回の復習になりますが、円の接線の方程式を確認しておきましょう。ここで、接線は中心を原点とする円に接するとします。

円の接線の方程式は、円の方程式に似ているので比較的覚えやすい式です。接線の方程式を求めるには、円の方程式と接点の座標の２つが必要です。

ここでのテーマは「円上の点における接線」ですが、中心が原点でない円の接線を対象としています。ですから、接線が分かっていたとしても、中心が原点以外であることに注意しましょう。

このとき接線の公式を利用できるのか気になるところです。残念ながらそのまま用いることはできません。

中心以外の点を原点とする円の接線の方程式は、以下のようになります。

カッコの中の式が似ているので注意しましょう。一方は定数になりますが、他方は変数ｘ，ｙが用いられているので、ちゃんと１次関数の式になります。

また、この公式(①式)は原点を中心とする円の接線の方程式も含むので、こちらの式を覚えておけば応用が利くでしょう。

この公式も覚えるのはそれほど難しくないでしょうが、導出の過程をきちんと把握しておきましょう。導出の過程ではこれまでに学習した事柄も出てきます。

この公式の導出については例題を用いて確認します。

円上の点における接線を求めてみよう

次の例題を解いてみましょう。

円の中心が原点でないことに注意しましょう。

例題の解答・解説

円の接線を求めるには、公式（原点中心の円の接線）を利用します。

ただ、与えられた円の中心は原点ではありません。ですから、接点の座標をこのまま公式に代入しても誤った使い方になってしまいます。

公式を上手く利用するには、円の中心が原点になければなりません。そのためにも与えられた円を平行移動します。

図形の平行移動が接線の方程式を求めるための大切な考え方になります。

与えられた円の方程式を導出し、中心が原点になるように平行移動します。

平行移動によって、中心が原点になりました。それに伴い、接点の座標も変わっていることに注意しましょう。

中心が原点に移りました。接点の座標を公式に代入すれば、接線の方程式を求めることができます。

ここで得られた接線は、原点を中心とする円の接線です。求めたい接線ではないことに注意しましょう。

与えられた円の接線を求めるには、元の位置に平行移動します。

一般化された接線の公式を導出することができました。こちらは中心が原点の円でも問題なく利用できます。

また、図を１つにまとめると以下のようになります。イメージできるようにしておきましょう。

円の接線の方程式を求める流れをまとめると以下のようになります。

求めたい接線の方程式は、３ではなく４の方程式です。作図していないとよく勘違いするので注意しましょう。

また、接線の方程式を求めるには、２次関数の平行移動で学習した事柄を利用しています。

一般に、関数を平行移動するとき、以下のことが成り立ちます。

円の接線の方程式は公式化されています。入試などのように時間制限がある場合には積極的に利用しましょう。

次は、円上の点における接線を扱った問題を実際に解いてみましょう。