場合の数｜組合せについて

11/23/2021数学Ａ

組合せを扱った問題を解いてみよう

次の問題を考えてみましょう。

問１の解答・解説

問１

次の値を求めよ。

\begin{align*} &(i) \quad {}_6 \mathrm{ C }_2 \\[ 7pt ] &(ii) \quad {}_8 \mathrm{ C }_6 \end{align*}

問１は、組合せの記号Ｃの意味を読み取り、計算する問題です。定義の式に対応する数を代入して計算します。式を使いながら覚えていきましょう。

₆Ｃ₂は、異なる６個から２個を選ぶ組合せの総数のことです。定義の式にｎ＝６，ｒ＝２を代入して計算します。

問１(i)の解答例

\begin{align*} \quad {}_6 \mathrm{ C }_2 &= \frac{{}_6 \mathrm{ P }_2}{2!} \\[ 7pt ] &= \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} \\[ 7pt ] &= 15 \end{align*}

計算するとき、約分を優先して数をできるだけ小さくしましょう。

₈Ｃ₆は、異なる８個から６個を選ぶ組合せの総数のことです。定義の式にｎ＝８，ｒ＝６を代入しても良いのですが、先に組合せの総数の性質（その２）を利用します。

「異なる８個から６個を選ぶ」ことで、結果的に「異なる８個から２個を残す」ことになります。ですから「異なる８個から残す２個を選ぶ」と言い換えることができます。

問１(ii)の解答例

\begin{align*} \quad {}_8 \mathrm{ C }_6 &= {}_8 \mathrm{ C }_2 \\[ 7pt ] &= \frac{{}_8 \mathrm{ P }_2}{2!} \\[ 7pt ] &= \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} \\[ 7pt ] &= 28 \end{align*}

なお、性質を使わずに解くと以下のようになります。

問１(ii)の別解例

\begin{align*} \quad {}_8 \mathrm{ C }_6 &= \frac{{}_8 \mathrm{ P }_6}{6!} \\[ 7pt ] &= \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \\[ 7pt ] &= \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} \\[ 7pt ] &= 28 \end{align*}

別解例の計算過程を見ると、余分な計算をしていることが分かります。計算ミスを防ぐために、性質を上手に利用して易しい計算ができるようにしましょう。

_nＣ_rにおいて、ｒの値が小さければ小さいほど計算はラクになる。

問１のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。

問２の解答・解説

問２

男子 $7$ 人と女子 $5$ 人の男女 $12$ 人から $3$ 人を選ぶとき、次の選び方は何通りあるか。

$(i) \quad 3$ 人の選び方の総数

$(ii) \quad$ 男子 $2$ 人と女子 $1$ 人をそれぞれ選ぶ

$(ii) \quad$ 少なくとも女子を $1$ 人を選ぶ

問２は、色々な場合の組合せの総数を求める問題です。上手な数え方を考えましょう。

問２(i)では、男女に関わりなく３人を選べばよいので、１２人から３人を選ぶ組合せの総数を求めます。

問２(i)の解答例

男女 $12$ 人から $3$ 人を選ぶ組合せの総数は

\begin{align*} \quad {}_{12} \mathrm{ C }_3 &= \frac{{}_{12} \mathrm{ P }_3}{3!} \\[ 7pt ] &= \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} \\[ 7pt ] &= 220 \ \text{（通り）} \end{align*}

問２(i)のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。

問２(ii)では、男子２人と女子１人を選びます。男子を選ぶとき、女子の組合せは関係ありませんし、その逆も同じです。ですから、男子と女子の選び方を別々に考えることが大切です。

男子２人の選び方は、７人から２人を選ぶときの組合せの総数です。女子１人の選び方は、５人から１人を選ぶときの組合せの総数です。

男子２人の選び方それぞれについて、女子１人の選び方があるので、積の法則を使って、男子２人、女子１人を選ぶ組合せの総数を求めます。

問２(ii)の解答例

男子 $2$ 人の選び方のそれぞれについて、女子 $1$ 人の選び方がある。

求める組合せの総数は、積の法則より

\begin{align*} \quad {}_7 \mathrm{ C }_2 \times {}_5 \mathrm{ C }_1 &= \frac{{}_7 \mathrm{ P }_2}{2!} \times \frac{{}_5 \mathrm{ P }_1}{1!} \\[ 7pt ] &= \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} \times \frac{5}{1} \\[ 7pt ] &= 105 \ \text{（通り）} \end{align*}

男子と女子の選び方を別々に考える。

問２(ii)のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。

問２(iii)では、少なくとも女子を１人を選びます。「少なくとも」という文言から、女子の人数は最低でも１人いれば何人いても良いということです。

この場合、男女の選び方は以下の３通りが考えられます。

少なくとも女子１人を選ぶ組合せ

男子２人と女子１人（問２(ii)）
男子１人と女子２人
男子０人と女子３人

この３種類の組合せは同時に起こらない組合せです。このとき、少なくとも女子１人を選ぶ組合せの総数は、３種類の組合せの和になります。

このように「少なくとも～」という文言がある場合、それぞれの場合ごとに場合の数を求める必要があり、煩雑になりやすくなります。その手間を省くために、集合で学習した補集合の考え方を利用します。

「少なくとも女子１人を選ぶ組合せ」の補集合に相当するのは、「女子を１人も選ばない組合せ」言い換えると「男子３人を選ぶ組合せ」です。男子３人の選び方は₇Ｃ₃通りです。

男女に関わりなく３人を選ぶ選び方は、問２(i)の結果から₁₂Ｃ₃通りでした。この選び方から男子３人の選び方を除けば、女子が必ず含まれる組合せだけが残ります。

問２(iii)の解答例

少なくとも女子 $1$ 人を選ぶには、すべての組合せから $3$ 人とも男子になる組合せを除けば良い。

$3$ 人とも男子になる選び方の総数は ${}_7 \mathrm{ C }_3$ 通りであり、これと $(i)$ から

\begin{align*} \quad {}_{12} \mathrm{ C }_3 – {}_7 \mathrm{ C }_3 &= 220- \frac{{}_7 \mathrm{ P }_3}{3!} \\[ 7pt ] &= 220- \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} \\[ 7pt ] &= 220- 35 \\[ 7pt ] &= 185 \ \text{（通り）} \end{align*}

問２(iii)のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。

組合せを扱った問題第2問(iii)の解答例 — 問２(iii)のポイントと解答例

なお、3つの場合ごとに選び方を考えて計算すると以下のようになります。

少なくとも女子１人を選ぶ組合せ

男子２人と女子１人 … ₇Ｃ₂×₅Ｃ₁通り
男子１人と女子２人… ₇Ｃ₁×₅Ｃ₂通り
男子０人と女子３人… ₅Ｃ₃（＝₅Ｃ₂）通り

問２(iii)の別解例

少なくとも女子 $1$ 人を選ぶ組合せは、男子 $2$ 人と女子 $1$ 人、男子 $1$ 人と女子 $2$ 人、$3$ 人とも女子の $3$ 通りある。

これらの組合せは同時に起こらないので、求める組合せの総数は

\begin{align*} \quad &{}_7 \mathrm{ C }_2 \times {}_5 \mathrm{ C }_1 + {}_7 \mathrm{ C }_1 \times {}_5 \mathrm{ C }_2 + \underline{{}_5 \mathrm{ C }_3} \\[ 10pt ] = \ &{}_7 \mathrm{ C }_2 \times {}_5 \mathrm{ C }_1 + {}_7 \mathrm{ C }_1 \times {}_5 \mathrm{ C }_2 + {}_5 \mathrm{ C }_2 \\[ 10pt ] = \ &\frac{{}_7 \mathrm{ P }_2}{2!} \times \frac{{}_5 \mathrm{ P }_1}{1!} + \frac{{}_7 \mathrm{ P }_1}{1!} \times \frac{{}_5 \mathrm{ P }_2}{2!} + \frac{{}_5 \mathrm{ P }_2}{2!} \\[ 10pt ] = \ &\frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} \times \frac{5}{1}+\frac{7}{1} \times \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1}+\frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} \\[ 10pt ] = \ &105+70+10 \\[ 7pt ] = \ &185 \ \text{（通り）} \end{align*}

それほど難しい計算ではありませんが、それでも面倒なのは確かです。

「少なくとも～」と言う表現が出てきたら、補集合（余事象）を使って求めよう。

順列や組合せを表す記号Ｐ，Ｃにはちゃんと意味があります。意味を理解するには、ことばに置き換えて考えることが大切です。

記号や式をことばに置き換える習慣は、一般化された公式や定理を扱う場合に効力を発揮します。