式と証明|条件付きの等式の証明について

03/11/2019数学2式と証明,条件式,等式・不等式の証明

条件付きの等式の証明を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。


\begin{align*}
&\text{$a+b+c=0$ のとき、次の等式が成り立つことを証明せよ。} \\[ 5pt ]
&(1) \quad a^{\scriptsize{3}} \bigl(b-c \bigr)+b^{\scriptsize{3}} \bigl(c-a \bigr)+c^{\scriptsize{3}} \bigl(a-b \bigr)=0 \\[ 5pt ]
&(2) \quad \bigl(b+c \bigr)^{\scriptsize{2}}+\bigl(c+a \bigr)^{\scriptsize{2}}+ \bigl(a+b \bigr)^{\scriptsize{2}}=-2(bc+ca+ab)
\end{align*}

等式(恒等式)の証明では、主に式の展開を用います。計算ミスに気をつければ、証明することはそれほど難しくありません。丁寧な計算過程を記述しましょう。

問(1)の解答・解説

問(1)
\begin{align*}
&\text{$a+b+c=0$ のとき、次の等式が成り立つことを証明せよ。} \\[ 5pt ]
&(1) \quad a^{\scriptsize{3}} \bigl(b-c \bigr)+b^{\scriptsize{3}} \bigl(c-a \bigr)+c^{\scriptsize{3}} \bigl(a-b \bigr)=0
\end{align*}

条件式と証明したい等式とをよく見比べましょう。よく吟味して方針を立てる習慣を付けることが大切です。

特定の文字を減らす方法で証明します。ここでは、文字 c を消去します。

問(1)の解答例①
\begin{align*}
&\text{$a+b+c=0$ より} \\[ 5pt ]
&\quad c=-\bigl( a+b \bigr)
\end{align*}

文字 c を消去するために、条件式を文字 c について変形します。これを与式の左辺に代入します。

問(1)の解答例②
\begin{align*}
\text{(左辺)} &= a^{\scriptsize{3}} \bigl\{ b+\bigl(a+b \bigr) \bigr\} +b^{\scriptsize{3}} \bigl\{ -\bigl(a+b \bigr)-a \bigr\} \\[ 5pt ]
&\qquad + \bigl\{ -\bigl(a+b \bigr) \bigr\}^{\scriptsize{3}} \bigl(a-b \bigr) \\[ 5pt ]
&= a^{\scriptsize{3}}\bigl(a+2b \bigr)+b^{\scriptsize{3}}\bigl(-2a-b \bigr)-\bigl(a+b \bigr)^{\scriptsize{3}} \bigl(a-b \bigr) \\[ 5pt ]
&= a^{\scriptsize{4}}+2a^{\scriptsize{3}}b-2ab^{\scriptsize{3}}-b^{\scriptsize{4}}-\bigl(a^{\scriptsize{3}}+3a^{\scriptsize{2}}b+3ab^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{3}} \bigr) \bigl(a-b \bigr) \\[ 5pt ]
&= a^{\scriptsize{4}}+2a^{\scriptsize{3}}b-2ab^{\scriptsize{3}}-b^{\scriptsize{4}}-\bigl(a^{\scriptsize{4}}+2a^{\scriptsize{3}}b-2ab^{\scriptsize{3}}-b^{\scriptsize{4}} \bigr) \\[ 5pt ]
&= 0 \\[ 5pt ]
&= \text{(右辺)}
\end{align*}

等式の証明では、符号のミスが多くなりがちなので気を付けましょう。

問(1)の別解例

別解を紹介しておきます。計算が簡単になるわけではないので、優先される解答例ではありません。しかし、変形のやり方にも色々あることを知っておくことは決して無駄になりません。

与式の左辺を文字 a について降べきの順に整理します。

問(1)の別解例①
\begin{align*}
\text{(左辺)} &= \bigl(b-c \bigr)a^{\scriptsize{3}} – \bigl(b^{\scriptsize{3}}-c^{\scriptsize{3}} \bigr)a+b^{\scriptsize{3}}c-bc^{\scriptsize{3}}
\end{align*}

1番目の項を参考にしながら、2番目と3番目の項を変形して共通因数をつくります。共通因数をくくり出して因数分解します。

問(1)の別解例②
\begin{align*}
\text{(左辺)} &= \bigl(b-c \bigr)a^{\scriptsize{3}} – \bigl(b^{\scriptsize{3}}-c^{\scriptsize{3}} \bigr)a+b^{\scriptsize{3}}c-bc^{\scriptsize{3}} \\[ 5pt ]
&= \bigl(b-c \bigr)a^{\scriptsize{3}}-\bigl(b-c \bigr)\bigl(b^{\scriptsize{2}}+bc+c^{\scriptsize{2}} \bigr)a+bc\bigl(b+c \bigr)\bigl(b-c \bigr) \\[ 5pt ]
&= \bigl(b-c \bigr) \bigl\{a^{\scriptsize{3}}-\bigl( b^{\scriptsize{2}}+bc+c^{\scriptsize{2}} \bigr)a+bc\bigl(b+c \bigr) \bigr\}
\end{align*}

ここで、波括弧の中の式だけを取り出します。今度は文字 b について降べきの順に整理します。

問(1)の別解例③
\begin{align*}
&a^{\scriptsize{3}}-\bigl( b^{\scriptsize{2}}+bc+c^{\scriptsize{2}} \bigr)a+bc\bigl(b+c \bigr) \\[ 5pt ]
= \ &\bigl(c-a \bigr)b^{\scriptsize{2}} + \bigl(c^{\scriptsize{2}}-ca \bigr)b+a^{\scriptsize{3}}-c^{\scriptsize{2}}a
\end{align*}

先ほどと同じ要領で共通因数をつくり、それをくくり出して因数分解します。

問(1)の別解例④
\begin{align*}
&a^{\scriptsize{3}}-\bigl( b^{\scriptsize{2}}+bc+c^{\scriptsize{2}} \bigr)a+bc\bigl(b+c \bigr) \\[ 5pt ]
= \ &\bigl(c-a \bigr)b^{\scriptsize{2}} + \bigl(c^{\scriptsize{2}}-ca \bigr)b+a^{\scriptsize{3}}-c^{\scriptsize{2}}a \\[ 5pt ]
= \ &\bigl(c-a \bigr)b^{\scriptsize{2}} + c\bigl(c-a \bigr)b-a\bigl(c+a \bigr)\bigl(c-a \bigr) \\[ 5pt ]
= \ &\bigl(c-a \bigr) \bigl\{ b^{\scriptsize{2}} +cb-a\bigl(c+a \bigr) \bigr\}
\end{align*}

さらに波括弧の中を因数分解します。

問(1)の別解例⑤
\begin{align*}
&a^{\scriptsize{3}}-\bigl( b^{\scriptsize{2}}+bc+c^{\scriptsize{2}} \bigr)a+bc\bigl(b+c \bigr) \\[ 5pt ]
= \ &\quad \vdots \\[ 5pt ]
= \ &\bigl(c-a \bigr) \bigl\{ b^{\scriptsize{2}} +cb-a\bigl(c+a \bigr) \bigr\} \\[ 5pt ]
= \ &\bigl(c-a \bigr) \bigl\{ b^{\scriptsize{2}} +cb-ac-a^{\scriptsize{2}} \bigr) \bigr\} \\[ 5pt ]
= \ &\bigl(c-a \bigr) \bigl\{ \bigl(b+a \bigr)\bigl(b-a \bigr) +c\bigl(b-a \bigr) \bigr\} \\[ 5pt ]
= \ &\bigl(c-a \bigr) \bigl(b-a \bigr) \bigl\{ \bigl(b+a \bigr) +c \bigr\} \\[ 5pt ]
= \ &\bigl(c-a \bigr) \bigl\{ -\bigl(a-b \bigr) \bigr\} \bigl(a+b+c \bigr) \\[ 5pt ]
= \ &-\bigl(a-b \bigr) \bigl(c-a \bigr) \bigl(a+b+c \bigr)
\end{align*}

これは取り出した式なので、もとの式に戻します。

問(1)の別解例⑥
\begin{align*}
\text{(左辺)} &= \bigl(b-c \bigr) \bigl\{a^{\scriptsize{3}}-\bigl( b^{\scriptsize{2}}+bc+c^{\scriptsize{2}} \bigr)a+bc\bigl(b+c \bigr) \bigr\} \\[ 5pt ]
&= \bigl(b-c \bigr) \bigl\{-\bigl(a-b \bigr) \bigl(c-a \bigr) \bigl(a+b+c \bigr) \bigr\} \\[ 5pt ]
&= -\bigl(a-b \bigr)\bigl(b-c \bigr)\bigl(c-a \bigr) \bigl(a+b+c \bigr)
\end{align*}

これで左辺の変形は終わりです。条件式に対応する部分があるので、そこに条件式を代入します。

問(1)の別解例⑦
\begin{align*}
\text{(左辺)} &= \bigl(b-c \bigr) \bigl\{a^{\scriptsize{3}}-\bigl( b^{\scriptsize{2}}+bc+c^{\scriptsize{2}} \bigr)a+bc\bigl(b+c \bigr) \bigr\} \\[ 5pt ]
&= \quad \vdots \\[ 5pt ]
&= -\bigl(a-b \bigr)\bigl(b-c \bigr)\bigl(c-a \bigr) \bigl(\underline{a+b+c} \bigr) \\[ 5pt ]
&= -\bigl(a-b \bigr)\bigl(b-c \bigr)\bigl(c-a \bigr) \cdot 0 \\[ 5pt ]
&= 0 \\[ 5pt ]
&= \text{(右辺)}
\end{align*}

かなりテクニカルな変形でしたが、このように降べきの順に整理しながら変形すると因数分解できることがあります。

「簡単な計算に」と言っても、限界はあります。このくらいの計算であれば、入試でも十分にありうる計算です。面倒な計算を避けるという方針は間違いではありません。しかし、どうしても避けることができない問題が出題される可能性もあります。そのときにこなせるだけの計算力をきちんと身に付けておきましょう。

問(2)の解答・解説

問(2)
\begin{align*}
&\text{$a+b+c=0$ のとき、次の等式が成り立つことを証明せよ。} \\[ 5pt ]
&(2) \quad \bigl(b+c \bigr)^{\scriptsize{2}}+\bigl(c+a \bigr)^{\scriptsize{2}}+ \bigl(a+b \bigr)^{\scriptsize{2}}=-2(bc+ca+ab)
\end{align*}

問(2)では、文字の数が多いので、どの方法でも面倒な変形になりそうです。変形が少しでも楽になるように工夫をします。

問(2)の解答例①
\begin{align*}
&\text{$ab=x \ , \ cd=y \ , \ pq=z \ , \ rs=w$ とおくと} \\[ 5pt ]
&\text{(左辺)} \ = \big( x^{\scriptsize{2}}-z^{\scriptsize{2}} \big) \big( y^{\scriptsize{2}}-w^{\scriptsize{2}} \big) \\[ 5pt ]
&\text{(右辺)} \ = \big( xy-zw \big)^{\scriptsize{2}} – \big( xw-yz \big)^{\scriptsize{2}}
\end{align*}

文字の数が減ったので、だいぶ見やすくなりました。それでも式の複雑さは、左辺も右辺もあまり変わりません。ここでは、両辺をそれぞれ変形して、同じ式を導く方法で証明します。

問(2)の解答例②
\begin{align*}
\text{(左辺)} \ &= \big( x^{\scriptsize{2}}-z^{\scriptsize{2}} \big) \big( y^{\scriptsize{2}}-w^{\scriptsize{2}} \big) \\[ 5pt ]
&= x^{\scriptsize{2}}y^{\scriptsize{2}}-x^{\scriptsize{2}}w^{\scriptsize{2}}-y^{\scriptsize{2}}z^{\scriptsize{2}}+z^{\scriptsize{2}}w^{\scriptsize{2}} \\[ 10pt ]
\text{(右辺)} \ &= \big( xy-zw \big)^{\scriptsize{2}} – \big( xw-yz \big)^{\scriptsize{2}} \\[ 5pt ]
&= x^{\scriptsize{2}}y^{\scriptsize{2}}-2xyzw+z^{\scriptsize{2}}w^{\scriptsize{2}}-\bigl(x^{\scriptsize{2}}w^{\scriptsize{2}}-2xyzw+y^{\scriptsize{2}}z^{\scriptsize{2}} \bigr) \\[ 5pt ]
&= x^{\scriptsize{2}}y^{\scriptsize{2}}-x^{\scriptsize{2}}w^{\scriptsize{2}}-y^{\scriptsize{2}}z^{\scriptsize{2}}+z^{\scriptsize{2}}w^{\scriptsize{2}} \\[ 5pt ]
\text{よって、(左辺)} \ &= \ \text{(右辺)}
\end{align*}

問(2)の別解例

問(2)の別解を紹介しておきます。上述の解答例と同じように、文字の種類を減らします。

問(2)の別解例①
\begin{align*}
&\text{$ab=x \ , \ cd=y \ , \ pq=z \ , \ rs=w$ とおくと} \\[ 5pt ]
&\text{(右辺)} \ = \big( xy-zw \big)^{\scriptsize{2}} – \big( xw-yz \big)^{\scriptsize{2}}
\end{align*}

公式を利用して因数分解します。

問(2)の解答例②
\begin{align*}
\text{(右辺)} &= \big( xy-zw \big)^{\scriptsize{2}} – \big( xw-yz \big)^{\scriptsize{2}} \\[ 5pt ]
&= \bigl\{ \big( xy-zw \big)+\big( xw-yz \big) \bigr\} \bigl\{ \big( xy-zw \big)-\big( xw-yz \big) \bigr\} \\[ 5pt ]
&= \big( xy-zw+xw-yz \big) \big( xy-zw-xw+yz \big)
\end{align*}

それぞれの波括弧の中で因数分解します。

問(2)の解答例③
\begin{align*}
\text{(右辺)} &= \big( xy-zw \big)^{\scriptsize{2}} – \big( xw-yz \big)^{\scriptsize{2}} \\[ 5pt ]
&= \quad \vdots \\[ 5pt ]
&= \big( xy-zw+xw-yz \big) \big( xy-zw-xw+yz \big) \\[ 5pt ]
&= \bigl\{ y\big( x-z \big) +w\big( x-z \big) \bigr\} \bigl\{ y\big( x+z \big)-w\big( x+zw \big) \bigr\}
\\[ 5pt ]
&= \big( x-z \big) \big( y+w \big) \big( x+z \big) \big( y-w \big) \\[ 5pt ]
&= \big( x^{\scriptsize{2}}-z^{\scriptsize{2}} \big) \big( y^{\scriptsize{2}}-w^{\scriptsize{2}} \big) \\[ 5pt ]
&= \text{(左辺)}
\end{align*}

別解では、右辺を因数分解計算して、左辺を導いています。ここでは同じ式を導くのが目標なので、展開だけでなく、因数分解を利用することも候補に入れておきましょう。

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さいごにもう一度まとめ

  • 条件付きの等式では、条件式を代入して「条件式のない等式の証明」に帰着させよう。
  • 等式の証明では、3通りの方法から簡単な計算になりそうな方法を選択しよう。
  • 文字の種類を減らすために条件式を使おう。
  • 条件式を上手に使うことで、簡単な計算で済ますことができる。