図形と方程式|直線の方程式について

数学2

図形と方程式 直線

直線の方程式を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

\begin{align*} &\text{次の $2$ 点を通る直線の方程式を求めよ。} \\[ 5pt ] &(1) \quad (3 \ , \ -2) \ , \ (4 \ , \ 1) \\[ 5pt ] &(2) \quad (4 \ , \ 0) \ , \ (0 \ , \ 3) \\[ 5pt ] &(3) \quad (-2 \ , \ 3) \ , \ (-2 \ , \ -5) \\[ 5pt ] &(4) \quad (-3 \ , \ 2) \ , \ (1 \ , \ 2) \end{align*}

問(1)の解答・解説

問(1)

\begin{align*} &\text{次の $2$ 点を通る直線の方程式を求めよ。} \\[ 5pt ] &\quad (3 \ , \ -2) \ , \ (4 \ , \ 1) \end{align*}

与えられた2点の座標を確認すると、2点のx座標が異なります。2点の座標で表される直線の方程式に、与えられた座標を代入します。

問(1)の解答例

\begin{align*} &\text{$2$ 点を通り、かつ $2$ 点の $x$ 座標が異なるので} \\[ 5pt ] &\quad y-(-2)=\frac{1-(-2)}{4-3} \left(x-3 \right) \\[ 7pt ] &\quad y+2=3 \left(x-3 \right) \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad y=3x-11 \end{align*}

直線の方程式を求める問題では、与えられた情報に応じて公式を使い分けるだけなので、機械的に求めることができます。

ただ、図形の問題なので、作図する習慣をつけておいた方が良いでしょう。図から傾きや切片が簡単に分かることも意外と多いからです。

問(1)の直線
問(1)の直線

問(1)では、作図すれば、傾きが1であることがすぐに分かります。この場合、傾きと1点の座標で表される直線の方程式を利用することもできます。

問(2)の解答・解説

問(2)

\begin{align*} &\text{次の $2$ 点を通る直線の方程式を求めよ。} \\[ 5pt ] &\quad (4 \ , \ 0) \ , \ (0 \ , \ 3) \end{align*}

与えられた2点の座標を確認すると、2点のx座標が異なります。2点の座標で表される直線の方程式に、与えられた座標を代入します。

問(2)の解答例

\begin{align*} &\text{$2$ 点を通り、かつ $2$ 点の $x$ 座標が異なるので} \\[ 5pt ] &\quad y-0=\frac{3-0}{0-4} \left(x-4 \right) \\[ 7pt ] &\quad y=-\frac{3}{4} \left(x-4 \right) \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad y=-\frac{3}{4}x+3 \end{align*}

作図すると以下のようになります。

問(2)の直線
問(2)の直線

作図すると、傾きだけでなく、切片も簡単に分かります。問(2)は、作図した方が簡単な問題です。

2種類の切片

中学では、切片はグラフとy軸との交点のy座標と学習しました。実は、切片には2種類あります。x切片y切片です。

2種類の切片

  • x切片:グラフとx軸との交点のx座標
  • y切片:グラフとy軸との交点のy座標
切片を用いた直線の方程式
x切片とy切片で表される直線

問(2)では、与えられた座標から、x切片とy切片の両方が分かります。このように2つの切片が分かっている場合、直線の方程式は以下のように表せます。

x,y切片を用いた直線の方程式

\begin{align*} &\text{$a \neq 0 \ , \ b \neq 0$ のとき、$2$ 点 $(a \ , \ 0) \ , \ (0 \ , \ b)$} \\[ 5pt ] &\text{を通る直線の方程式は} \\[ 5pt ] &\quad y-0=\frac{b-0}{0-a} \left(x-a \right) \\[ 7pt ] &\quad y=-\frac{b}{a} \left(x-a \right) \\[ 7pt ] &\quad y=-\frac{b}{a} x+b \\[ 7pt ] &\text{両辺を $b$ で割ると} \\[ 5pt ] &\quad \frac{y}{b}=-\frac{x}{a} +1 \\[ 7pt ] &\text{したがって} \\[ 5pt ] &\quad \therefore \ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 \end{align*}

このことを利用して、問(2)を解くことができます。問(2)の別解例は以下の通りです。

問(2)の解答例

\begin{align*} &\text{$2$ 点 $(4 \ , \ 0) \ , \ (0 \ , \ 3)$ を通るので} \\[ 5pt ] &\quad \frac{x}{4}+\frac{y}{3}=1 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad y=-\frac{3}{4}x+3 \end{align*}

余裕があれば公式として覚えておくと良いでしょう。

2点を通る直線の方程式(x,y切片)

\begin{align*} &\text{$2$ 点 $(a \ , \ 0) \ , \ (0 \ , \ b)$ を通る} \\[ 5pt ] &\text{直線の方程式は} \\[ 5pt ] &\quad \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 \\[ 7pt ] &\text{ただし、$a \neq 0 \ , \ b \neq 0$} \end{align*}

問(3)の解答・解説

問(3)

\begin{align*} &\text{次の $2$ 点を通る直線の方程式を求めよ。} \\[ 5pt ] &\quad (-2 \ , \ 3) \ , \ (-2 \ , \ -5) \end{align*}

与えられた2点の座標を確認すると、2点のx座標が同じです。この場合、xの増加量が0となるので、傾きを求めることができません。変化の割合(傾き)の分母となるxの増加量が0となるからです。

2点の座標で表される直線の方程式を利用できないので、特殊な直線になります。与えられた2点のx座標が一定なので、求める直線はx軸に垂直な直線です。

問(3)の解答例

\begin{align*} &\text{$x$ 座標がともに $-2$ であるので} \\[ 5pt ] &\quad x=-2 \end{align*}

問(3)の直線は、問(4)の直線と合わせて図示しています。問(4)の解答例を参照してください。

問(4)の解答・解説

問(4)

\begin{align*} &\text{次の $2$ 点を通る直線の方程式を求めよ。} \\[ 5pt ] &\quad (-3 \ , \ 2) \ , \ (1 \ , \ 2) \end{align*}

与えられた2点の座標を確認すると、x座標は異なりますが、y座標が同じです。この場合、傾きを求めることはできます。ただ、yの増加量が0なので、傾きは0となります。

傾きが0となるのは、y軸に垂直な直線です。

問(4)の解答例

\begin{align*} &\text{$y$ 座標がともに $2$ であるので} \\[ 5pt ] &\quad y=2 \end{align*}

問(3),(4)は、作図をするとよく分かります。むしろ、作図しないとイメージが湧かないかもしれません。

問(3)と問(4)の直線
問(3),(4)の直線

直線の方程式を求めるときには、作図してからの方が簡単な場合が多いです。図形を扱った問題では、解けるか解けないかが作図に左右されることも少なくありません。作図の練習をしておきましょう。

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さいごにもう一度まとめ

  • 直線の方程式は、与えられた情報に応じて使い分けよう。
  • 2点の座標を用いた直線の方程式に慣れておこう。
  • 作図してから直線の方程式を求めよう。
  • 予め図が与えられていることはほとんどないので、自分で作図できるようにしておこう。