数学１・Ａ｜2017センター試験・第１問を解いてみよう

07/18/2021数学１,数学Ａ

第１問〔２〕について

第１問〔２〕は「集合と論理」を扱った問題です。小問２つの構成です。

(1)は「必要条件・十分条件」に関する問題です。

必要条件や十分条件を考えるとき、条件を満たす要素が属する集合の包含関係を調べます。そのためには、与えられた条件のままで必要条件や十分条件を考えても上手くいきません。

たとえば、条件ｑであれば、２次方程式をそのままにせず、解を求めて要素を把握する必要があります。

また、(1)，(2)の両方に条件ｐ，ｑの否定が出てくるので、条件ｐ，ｑの否定をしっかり書き出しておきましょう。

解答欄ケ

解答欄ケの問題は、条件ｑが条件ｐに対してどんな立場の条件かを考える問題です。命題「ｑ⇒ｐ」と命題「ｑ⇐ｐ」の真偽を調べることで、どんな立場の条件なのかが分かります。

ｘは実数なので、実数全体が属する集合を全体集合Ｕと定義します。また、条件ｐ，ｑに対応する集合をそれぞれＰ，Ｑとします。

このとき、集合Ｐ，Ｑに属する要素は以下のようになります。

解答欄ケの解答例 1⃣

$$\begin{align*} &\text{条件 $p$ に対応する集合を $P$ とすると} \\[ 5pt ] &\quad P=\left\{ 1 \right\} \\[ 7pt ] &\text{条件 $q$ に対応する集合を $Q$ とすると} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}=1 \\[ 7pt ] &\text{より} \\[ 5pt ] &\quad x= \pm 1 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad Q=\left\{ -1 \ , \ 1 \right\} \end{align*}$$

次に集合Ｐ，Ｑの包含関係を調べます。２つの集合の包含関係が分かれば、命題「ｑ⇒ｐ」と命題「ｑ⇐ｐ」の真偽を知ることができます。集合の包含関係を考えるには、一般にベン図を利用します。

ここでは、各集合の要素が少ないので、ベン図なしでも問題ないでしょう。

集合Ｐ，Ｑの包含関係から各命題の真偽を調べます。その結果から必要条件・十分条件を判断します。

命題「ｑ⇒ｐ」が偽で、命題「ｑ⇐ｐ」が真であるので、十分条件ではありませんが、必要条件であることが分かります。

解答欄コ

解答欄コの問題は、条件ｐの否定が条件ｑに対してどんな立場の条件かを考える問題です。命題「ｐの否定⇒ｑ」と命題「ｐの否定⇐ｑ」の真偽を調べることで、どんな立場の条件なのかが分かります。

条件ｐ，ｑの否定と、その集合を求めます。

解答欄コの解答例 1⃣

$$\begin{align*} &\text{条件 $p$ の否定 $\overline{p}$ は} \\[ 5pt ] &\quad x \neq 1 \\[ 7pt ] &\text{これに対応する集合 $\overline{P}$ の要素は} \\[ 5pt ] &\quad P=\left\{x \ | \ x=1 \ \text{以外のすべての実数} \right\} \\[ 7pt ] &\text{また、条件 $q$ の否定 $\overline{q}$ は} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}} \neq 1 \\[ 7pt ] &\text{これに対応する集合 $\overline{Q}$ の要素は} \\[ 5pt ] &\quad Q=\left\{x \ | \ x=\pm 1 \ \text{以外のすべての実数} \right\} \end{align*}$$

条件ｐの否定を満たす実数ｘは、集合Ｐの補集合に属する要素です。この集合Ｐの補集合と、集合Ｑとの包含関係を調べます。要素だけで分かりにくければ、ベン図も上手に利用しましょう。

集合Ｐの補集合と集合Ｑとは、部分的に重なる（共通部分をもつ）だけで、包含関係はありません。このことはベン図の方が分かりやすいでしょう。

解答欄サ

解答欄サの問題は、（条件ｐまたは条件ｑの否定）が条件ｑに対してどんな立場の条件かを考える問題です。

命題「（ｐまたはｑの否定）⇒ｑ」と命題「（ｐまたはｑの否定）⇐ｑ」の真偽を調べることで、どんな立場の条件なのかが分かります。

条件ｑの否定を満たす実数ｘは、集合Ｑの補集合に属する要素です。この集合Ｑの補集合と集合Ｐの和集合が、条件ｐまたは条件ｑの否定を満たすｘを要素とする集合です。

このような和集合と集合Ｑの包含関係を調べます。要素だけで分かりにくければ、ベン図も上手に利用しましょう。

解答欄サの解答例

$$\begin{align*} &\quad P=\left\{ 1 \right\} \\[ 7pt ] &\quad \overline{P}=\left\{x \ | \ 1 \ \text{以外のすべての実数} \right\} \\[ 7pt ] &\quad Q=\left\{ -1 \ , \ 1 \right\} \\[ 7pt ] &\quad \overline{Q} =\left\{x \ | \ -1 \ , \ 1 \ \text{以外のすべての実数} \right\} \\[ 10pt ] &\text{$p$ または $\overline{q}$ に対応する集合 $P$ または $\overline{Q}$ は} \\[ 5pt ] &\quad P \cup \overline{Q}=\left\{x \ | \ -1 \ \text{以外のすべての実数} \right\} \\[ 7pt ] &\text{これと集合 $Q$ の包含関係は} \\[ 5pt ] &\quad \left(P \cup \overline{Q} \right) \not \subset Q \ , \ \left(P \cup \overline{Q} \right) \not \supset Q \\[ 7pt ] &\text{$2$ つの集合に包含関係はないので} \\[ 5pt ] &\quad \text{（ $p$ または $\overline{q}$ ）ならば $q$ は偽} \\[ 7pt ] &\quad \text{$q$ ならば（ $p$ または $\overline{q}$ ）は偽} \end{align*}$$

よって、（ $p$ または $\overline{q}$ ）は $q$ であるための必要条件でも十分条件でもない。

集合Ｐと集合Ｑの補集合の和集合と、集合Ｑとは、部分的に重なる（共通部分をもつ）だけで、包含関係はありません。ベン図を上手に利用しましょう。

解答欄シ

解答欄シの問題は、条件ｐかつ条件ｑが条件ｑに対してどんな立場の条件かを考える問題です。

命題「（ｐの否定かつｑ）⇒ｑ」と命題「（ｐの否定かつｑ）⇐ｑ」の真偽を調べることで、どんな立場の条件かが分かります。

条件ｐの否定を満たす実数ｘは、集合Ｐの補集合に属する要素であり、すでに分かっています。この集合Ｐの補集合と集合Ｑの共通部分が、条件ｐの否定かつ条件ｑを満たすｘを要素とする集合です。

このような共通部分と集合Ｑの包含関係を調べます。要素だけで分かりにくければ、ベン図も上手に利用しましょう。

解答欄シの解答例

$$\begin{align*} &\quad P=\left\{ 1 \right\} \\[ 7pt ] &\quad \overline{P}=\left\{x \ | \ 1 \ \text{以外のすべての実数} \right\} \\[ 7pt ] &\quad Q=\left\{ -1 \ , \ 1 \right\} \\[ 7pt ] &\quad \overline{Q} =\left\{x \ | \ -1 \ , \ 1 \ \text{以外のすべての実数} \right\} \\[ 10pt ] &\text{$\overline{p}$ かつ $q$ に対応する集合 $\overline{P}$ かつ $Q$ は} \\[ 5pt ] &\quad \overline{P} \cap Q=\left\{-1 \right\} \\[ 7pt ] &\text{これと集合 $Q$ の包含関係は} \\[ 5pt ] &\quad \left(\overline{P} \cap Q \right) \not \subset Q \ , \ \left(\overline{P} \cap Q \right) \not \supset Q \\[ 7pt ] &\text{$2$ つの集合に包含関係はないので} \\[ 5pt ] &\quad \text{（ $\overline{p}$ かつ $q$ ）ならば $q$ は偽} \\[ 7pt ] &\quad \text{$q$ ならば（ $\overline{p}$ かつ $q$ ）は偽} \end{align*}$$

よって、（ $\overline{p}$ かつ $q$ ）は $q$ であるための必要条件でも十分条件でもない。

集合Ｐの補集合と集合Ｑの共通部分と、集合Ｑとは、部分的に重なる（共通部分をもつ）だけで、包含関係はありません。

どの問題も条件から集合とその要素を求める必要があります。それだけなく、集合どうしの包含関係も調べなくてはなりません。ただ、ベン図を利用すれば、それほど難しくない問題です。

第１問〔２〕(1)のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。

解答欄ス

第１問〔２〕(2)は「命題の真偽」に関する問題です。

条件ｒが新たに追加されましたが、(1)と同じように集合の包含関係から命題の真偽を考えます。

問題をよく見ると、条件ｒは不等式で与えられています。

この場合、ベン図ではなく数直線の方が分かりやすいかもしれません。

まず命題Ａ「（ｐかつｑ）⇒ｒ」の真偽を調べます。ここで、条件ｒに対応する集合をＲとします。

解答欄スの解答例 1⃣

$$\begin{align*} &\quad P=\left\{ 1 \right\} \\[ 7pt ] &\quad \overline{P}=\left\{x \ | \ 1 \ \text{以外のすべての実数} \right\} \\[ 7pt ] &\quad Q=\left\{ -1 \ , \ 1 \right\} \\[ 7pt ] &\quad \overline{Q} =\left\{x \ | \ -1 \ , \ 1 \ \text{以外のすべての実数} \right\} \\[ 7pt ] &\quad R =\left\{x \ | x \gt 0 \ \text{を満たす実数} \right\} \\[ 10pt ] &\text{$p$ かつ $q$ に対応する集合 $P$ かつ $Q$ は} \\[ 7pt ] &\quad P \cap Q=\left\{ 1 \right\} \\[ 7pt ] &\text{これと集合 $R$ の包含関係は} \\[ 5pt ] &\quad \left(P \cap Q \right) \subset Q \\[ 7pt ] &\text{より} \\[ 5pt ] &\quad \text{（ $p$ かつ $q$ ）ならば $q$ は真} \\[ 7pt ] &\text{よって、命題 $A$ は真} \end{align*}$$

次に命題Ｂ「ｑ⇒ｒ」の真偽を調べます。

解答欄スの解答例 2⃣

$$\begin{align*} &\quad P=\left\{ 1 \right\} \\[ 7pt ] &\quad \overline{P}=\left\{x \ | \ 1 \ \text{以外のすべての実数} \right\} \\[ 7pt ] &\quad Q=\left\{ -1 \ , \ 1 \right\} \\[ 7pt ] &\quad \overline{Q} =\left\{x \ | \ -1 \ , \ 1 \ \text{以外のすべての実数} \right\} \\[ 7pt ] &\quad R =\left\{x \ | x \gt 0 \ \text{を満たす実数} \right\} \\[ 10pt ] &\text{集合 $Q$ と集合 $R$ の包含関係は} \\[ 5pt ] &\quad Q \not \supset R \ , \ Q \not \subset R \\[ 7pt ] &\text{$2$ つの集合に包含関係はないので} \\[ 5pt ] &\quad \text{$q$ ならば $r$ は偽} \\[ 7pt ] &\text{よって、命題 $B$ は偽} \end{align*}$$

最後に命題Ｃ「ｑの否定⇒ｐの否定」の真偽を調べます。

ところで、命題Ｃは命題「ｐ⇒ｑ」の対偶です。命題「ｐ⇒ｑ」の真偽は(1)で分かっているので、その結果を利用します。

命題「ｐ⇒ｑ」は真であるので、その対偶である命題Ｃも真です。

今回は例年のように対偶を求める問題がありませんでしたが、最後の問題に出てきました。もちろん対偶を利用しなくても、直接求めることはできます。

第１問〔２〕(2)のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。

次は第１問〔３〕を解いてみましょう。