数学１・Ａ｜2017センター試験・第４問を解いてみよう
第４問(3)
(3)では、具体的な数を用いて、約数や倍数のことについて考える問題になっています。これらと因数（素因数）との関係を理解しているかがポイントになります。
また、２進法への変換のやり方についても問われています。
解答欄シス
(3)の解答欄シスに関する問題です。
解答欄シス
$1188$ の正の約数の個数
正の約数の個数に関する問題です。扱う数が１桁や２桁など桁の少ない数であれば、じかに約数を求めてその個数を数えることができます。
しかし、１１８８のように桁の多い数になると、約数を求めるのが面倒です。正の約数の個数と言えば、素因数分解後の指数を利用して求めます。
正の約数の個数
自然数 $x$ が素因数 $a \ , \ b$ を用いて
\begin{align*} \quad x={a}^{m} \times {b}^{n} \end{align*}で表されるとき、自然数 $x$ の正の約数の個数は
\begin{align*} \quad \left(m+1 \right) \times \left(n+1 \right) \end{align*}この公式を利用するために、１１８８を素因数分解します。１１８８が４の倍数でもあり、９の倍数でもあることに注目して分解します。
１１８８を素因数分解する
$1188$ が素因数分解すると
\begin{align*} \quad 1188 &= 36 \times 33 \\[ 7pt ] &= 4 \times 9 \times 3 \times 11 \\[ 7pt ] &= {2}^{2} \times {3}^{3} \times 11 \end{align*}１１８８が素因数２，３，１１の積で表されることが分かりました。累乗の指数をもとに、正の約数の個数を求めます。
１１８８の正の約数の個数を求める
\begin{align*} \quad 1188 = {2}^{2} \times {3}^{3} \times 11 \end{align*}であるので、$1188$ の正の約数の個数は
\begin{align*} &(2+1) \times (3+1) \times (1+1) \\[ 7pt ] = \ &3 \times 4 \times 2 \\[ 7pt ] = \ &24 \ \text{（個）} \end{align*}解答欄シスの解答例をまとめると以下のようになります。
正の約数の個数について
ある自然数の正の約数の個数は、先ほどの公式で求めるのが一般的です。なぜあのような公式が得られるのかを考えてみましょう。
ある自然数ｘを素因数分解すると、素因数ａ，ｂを用いてｘ＝ａm×ｂnで表されたとします。
このとき、自然数ｘの正の約数は、素因数ａやｂからできているはずです。ですから、正の約数は素因数ａ，ｂの組合せを考えれば良いことが分かります。
イメージをはっきりさせるために、たとえば、１２の正の約数を考えてみましょう。
参考 １２の正の約数
$12$ の約数は、$1 \ , \ 2 \ , \ 3 \ , \ 4 \ , \ 6 \ , \ 12$ の $6$ 個。
ここで
\begin{align*} \quad 12={2}^{2} \times 3 \end{align*}より、素因数は $2 \ , \ 3$ を用いて $12$ の正の約数を表すと
\begin{align*} \quad 1 &= {2}^{0} \times {3}^{0} \\[ 7pt ] 2 &= {2}^{1} \times {3}^{0} \\[ 7pt ] 3 &= {2}^{0} \times {3}^{1} \\[ 7pt ] 4 &= {2}^{2} \times {3}^{0} \\[ 7pt ] 6 &= {2}^{1} \times {3}^{1} \\[ 7pt ] 12 &= {2}^{2} \times {3}^{1} \end{align*}これより、約数は素因数の累乗で表されることが分かる。
また、これらを指数に注目して並び替えると
\begin{align*} \quad {2}^{0} \times {3}^{0} &= 1 \\[ 7pt ] {2}^{0} \times {3}^{1} &= 3 \\[ 7pt ] {2}^{1} \times {3}^{0} &= 2 \\[ 7pt ] {2}^{1} \times {3}^{1} &= 6 \\[ 7pt ] {2}^{2} \times {3}^{0} &= 4 \\[ 7pt ] {2}^{2} \times {3}^{1} &= 12 \end{align*}$2$ の累乗は $0 \ , \ 1 \ , \ 2$ 乗の $3$ 通りあり、それらに対して $3$ の累乗が $0 \ , \ 1$ 乗の $2$ 通りずつあることが分かる。
積の法則から、正の約数の個数は全部で
\begin{align*} \quad 3 \times 2 = 6 \ \text{（個）} \end{align*}以上から、約数は、指数の選び方を考えれば作ることができる。
１２の約数の場合を参考にすると、自然数ｘがｘ＝ａm×ｂnに素因数分解されるとき、素因数ａ，ｂの累乗の作り方はそれぞれ以下のようになります。
素因数ａ，ｂの選び方
- 素因数ａの累乗の作り方：ａ0，ａ1，…，ａm の（ｍ＋１）通り
- 素因数ｂの累乗の作り方：ｂ0，ｂ1，…，ｂn の（ｎ＋１）通り
このことから、約数の作り方は、素因数ａの累乗の作り方の（ｍ＋１）通りのそれぞれに対して、素因数ｂの累乗の作り方が（ｎ＋１）通りずつあります。
場合の数で学習した積の法則を利用すると、正の約数の個数は全部で (ｍ＋１)(ｎ＋１) 個になります。
自然数の正の約数の個数は、積の法則を用いた場合の数で得られる個数。
(1)～(3)の解答欄シスまでのポイントと解答例をまとめると以下のようになります。
解答欄セソ，タ
(3)の解答欄セソ，タに関する問題です。
解答欄セソ，タ
$1188$ の正の約数のうち、$2$ の倍数と $4$ の倍数の個数
解答欄シスに関する問題で求めた結果から、１１８８の正の約数は全部で２４個です。このうち、２の倍数や４の倍数になるものの個数を求めます。
２の倍数である条件と４の倍数である条件は以下の通りです。
２の倍数である条件、４の倍数である条件
- ２の倍数になる数 … 素因数２を少なくとも１つもつ
- ４の倍数になる数 … 素因数２を少なくとも２つ以上もつ
これを参考にして、１１８８を素因数分解した式を少し変形します。
１１８８を素因数分解した式を変形する
\begin{align*} \quad 1188 &= {2}^{2} \times {3}^{3} \times 11 \\[ 7pt ] &= 2 \times \left(2 \times {3}^{3} \times 11 \right) \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &= 4 \times \left({3}^{3} \times 11 \right) \quad \cdots \text{②} \end{align*}①式は $2$ の倍数を表し、②式は $4$ の倍数を表す。
２の倍数となる数は、①式においてカッコ内の素因数２，３，１１の累乗の選び方で決まります。同じように、４の倍数となる数は、②式においてカッコ内の素因数３，１１の累乗の選び方で決まります。
２の倍数の個数から求めます。
２の倍数の個数を求める
\begin{align*} \quad 1188 &= {2}^{2} \times {3}^{3} \times 11 \\[ 7pt ] &= 2 \times \left(2 \times {3}^{3} \times 11 \right) \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &= 4 \times \left({3}^{3} \times 11 \right) \quad \cdots \text{②} \end{align*}①式において、素因数 $2$ に対して、残りの素因数の選び方は
\begin{align*} &\quad {2}^{0} \ , \ {2}^{1} \ \text{の $2$ 通り} \\[ 7pt ] &\quad {3}^{0} \ , \ {3}^{1} \ , \ {3}^{2} \ , \ {3}^{3} \ \text{の $4$ 通り} \\[ 7pt ] &\quad {11}^{0} \ , \ {11}^{1} \ \text{の $2$ 通り} \end{align*}よって、$2$ の倍数の個数は積の法則から
\begin{align*} \quad 2 \times 4 \times 2=16 \ \text{（個）} \end{align*}解答欄セソの解答例をまとめると以下のようになります。
同じ要領で４の倍数の個数を求めます。
４の倍数の個数を求める
\begin{align*} \quad 1188 &= {2}^{2} \times {3}^{3} \times 11 \\[ 7pt ] &= 2 \times \left(2 \times {3}^{3} \times 11 \right) \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &= 4 \times \left({3}^{3} \times 11 \right) \quad \cdots \text{②} \end{align*}②式において、因数 $4$ に対して、残りの素因数の選び方は
\begin{align*} &\quad {3}^{0} \ , \ {3}^{1} \ , \ {3}^{2} \ , \ {3}^{3} \ \text{の $4$ 通り} \\[ 7pt ] &\quad {11}^{0} \ , \ {11}^{1} \ \text{の $2$ 通り} \end{align*}よって、$4$ の倍数は積の法則から
\begin{align*} \quad 4 \times 2=8 \ \text{（個）} \end{align*}解答欄タの解答例をまとめると以下のようになります。
解答欄チツ
(3)の解答欄チツに関する問題です。
解答欄チツ
$1188$ のすべての正の約数の積を $2$ 進法で表すと、末尾に連続して並ぶ $0$ の個数
日頃から使っている数は１０進法の数です。２進法などの他のルールで数を表すには、表し方のルール（記数法）を知っておく必要があります。
１０進法とは０，１，…，９の１０個の数を用いて、数を表す方法のこと。
１０進法の数を２進法で表す方法は、数の素因数分解に似ています。
１０進法で表される数を２進法で表す
素因数分解と同じ要領ですが、つねに２で割っていきます。このときの余りを求めていき、その余りを順に並べると２進法の数に置換することができます。
１０進法から２進法への変換のやり方が分かったところで、１１８８のすべての正の約数の積を考えます。ただし、２進法に変換するとき、２で割っていくことと、連続する０の個数を考えることに注目しながら考えます。
２進法に変換するとき０が出てくるのは、２で割ったとき余りが０のときです。
このことから、１１８８のすべての正の約数の積が２を因数にもつ限り、２で割ったときの余りは０になります。ですから、１１８８の正の約数のうち、２の倍数や４の倍数に注目すれば良いことが分かります。
１１８８の正の約数のうち、２の倍数は２４個あります（解答欄セソ）。また、４の倍数は８個あります（解答欄タ）。
これらから、１１８８のすべての正の約数の積には、２の倍数が２４個、４の倍数が８個含まれています。
ここで注意しなければならないのは、２の倍数の中に４の倍数が含まれていることです。２の倍数と４の倍数の重複ぶんを考慮して、２の個数を調べます。
２の倍数や４の倍数のもつ因数２の個数
$2$ の倍数のうち、$4$ の倍数でない数は
\begin{align*} \quad 24-8=16 \ \text{（個）} \end{align*}これらは $2$ を $1$ 個ずつ因数にもつ。
また、$4$ の倍数は $8$ 個あるが、これらは $2$ を $2$ 個ずつ因数にもつ。
よって、$2$ は全部で
\begin{align*} \quad 8 \times 2=16 \ \text{（個）} \end{align*}したがって、１１８８のすべての正の約数の積は
\begin{align*} \quad 8+16=24 \ \text{（個）} \end{align*}の $2$ を因数にもつ。
１１８８のすべての正の約数の積には、素因数２が２４個含まれているので、２進法に変換したとき、余り０が連続するのは２４回になります。したがって、末尾に０が連続して２４個並ぶことになります。
２の倍数の個数２４個と４の倍数の個数８個を単純に足さないように気を付けよう。２の倍数と４の倍数との包含関係を考えよう。
解答欄チツの解答例をまとめると以下のようになります。
１０進法から２進法への変換のやり方です。素因数分解と同じ要領ですが、必ず２で割っていき、余りを求めます。
(3)の解答欄タまでは完答できる基礎レベルの問題でした。最後の解答欄チツに関する問題は面喰いますが、それまでの問題も考慮に入れて考えれば解けなくはないレベルです。
解答欄セソからタチまでのポイントと解答例をまとめると以下のようになります。
「整数の性質」に関する問題では、不定方程式やユークリッドの互除法を扱った問題の方が頻出でしたが、今回は約数や倍数とその個数やｎ進法を扱った問題でした。
面喰ったり、難しく感じたりしたかもしれませんが、よく理解していないと解けない点で第４問も良問だったと思います。
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- ４の倍数は、下２桁が４の倍数である数。
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- 正の約数の個数は、素因数分解後の指数を利用して求める。
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