図形の性質|メネラウスの定理、チェバの定理について

数学A

数学A 図形の性質

メネラウスの定理やチェバの定理を扱った問題を解いてみよう

次の問題を考えてみましょう。

メネラウスの定理を扱った問題
問1
チェバの定理を扱った問題
問2

問1の解答・解説

問1は、2つの線分AR,RCの比AR:RCを求める問題です。

与えられた図から、矢じりのような図形であることが分かるので、メネラウスの定理を利用できそうです。

三角形の頂点をA,B,Cとすると、点P,Rが内分点で、点Qが外分点です。

メネラウスの定理を扱った問題
問1

頂点Aからスタートして再び戻ってくるように立式します。

立式で間違えないように、図に矢印を書き込んでおき、それを辿りながら立式すると良いでしょう。ちょっとしたことですが、些細なミスを減らせます。

問1の解答例 1⃣

メネラウスの定理より

\begin{align*} \quad \frac{AP}{PB} \cdot \frac{BQ}{QC} \cdot \frac{CR}{RA} = 1 \end{align*}

これを変形して

\begin{align*} \quad \frac{CR}{RA} = \frac{PB}{AP} \cdot \frac{QC}{BQ} \end{align*}
メネラウスの定理を扱った問題
問1の図

線分の長さを代入して整理すると、2つの線分AR,RCの比の値RC/ARが分かります。

比の値から比例式に戻せば、AR:RCを求めことができます。

問1の解答例 2⃣

\begin{align*} &\vdots \\[ 7pt ] \quad \frac{CR}{RA} &= \frac{PB}{AP} \cdot \frac{QC}{BQ} \end{align*}

ここで

\begin{align*} \quad PB=5 \ , \ AP=3 \ , \ QC=2 \ , \ BQ=5 \end{align*}

より

\begin{align*} \quad \frac{CR}{RA} = \frac{5}{3} \cdot \frac{2}{5} \end{align*}

よって

\begin{align*} \quad \frac{CR}{RA} = \frac{2}{3} \end{align*}

したがって

\begin{align*} \quad AR:RC=3:2 \end{align*}
メネラウスの定理を扱った問題
問1の図

立式ができれば特に難しいことはありません。問1のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。

メネラウスの定理を扱った問題の解答例
問1のポイントと解答例

問2の解答・解説

問2は、2つの線分BQ,QCの比BQ:QCを求める問題です。

内部の点Oと頂点を通る直線AO,BO,COが引かれているので、チェバの定理を利用できそうです。

三角形の頂点をA,B,Cとすると、点P,Q.Rが内分点です。

チェバの定理を扱った問題
問2

頂点Aからスタートして再び戻ってくるように立式します。

問2の解答例 1⃣

チェバの定理より

\begin{align*} \quad \frac{AP}{PB} \cdot \frac{BQ}{QC} \cdot \frac{CR}{RA} = 1 \end{align*}

これを変形して

\begin{align*} \quad \frac{BQ}{QC} = \frac{PB}{AP} \cdot \frac{RA}{CR} \end{align*}
チェバの定理を扱った問題
問2の図

線分の長さを代入して整理すると、線分BQ,QCの比の値BQ/QCが分かります。

比の値から比例式に戻せば、BQ:QCを求めことができます。

問2の解答例 2⃣

\begin{align*} &\vdots \\[ 7pt ] \quad \frac{BQ}{QC} &= \frac{PB}{AP} \cdot \frac{RA}{CR} \end{align*}

ここで

\begin{align*} \quad PB=5 \ , \ AP=6 \ , \ RA=3 \ , \ CR=5 \end{align*}

より

\begin{align*} \quad \frac{BQ}{QC} = \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{5} \end{align*}

よって

\begin{align*} \quad \frac{BQ}{QC} = \frac{1}{2} \end{align*}

したがって

\begin{align*} \quad BQ:QC=1:2 \end{align*}
チェバの定理を扱った問題
問2の図

チェバの方が立式しやすいかもしれません。こちらも特に難しいことはありません。問2のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。

チェバの定理を扱った問題の解答例
問2のポイントと解答例

どちらの問題も基礎レベルなので、複雑な図形でもきちんと使いこなせるようにしておきたいところです。

ちなみに、これらの定理を利用する問題がベクトルの単元(数学B)でも出されるので、即戦力の状態にしておきましょう。

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さいごのセンター試験では、共通テストを意識した問題が出題されていました。これまでに見慣れない形式での出題がいくつか見られました。

難易度に関して言えば、これまでのセンター試験とそれほど変わりません。しかし、出題形式に変化があれば、思った以上に難しく感じるものです。実際、2020年の数学の平均点は前年よりも下がっているので、難しく感じた受験生が多かったと考えられます。

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大学入試の基本となる問題を扱った問題集です。問題数は138問です。
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ここで紹介する問題集は、『大学入試 全レベル問題集 数学』シリーズです。昔からある有名なレベル別問題集です。

3年の1学期までに基礎レベル1を解いて、教科書内容の補完をしてしまいましょう。夏休みになったら、共通テストレベル2で実戦練習をこなすと良いでしょう。9月~10月くらいまでにこの2冊を何度も周回して仕上げれば、秋からの2次対策にスムーズに移行できるでしょう。

なお、新入試に対応するための改訂版が2020年2月に出版されています。改訂版を希望する場合、「新入試対応」とあるものを購入しましょう。

大事なことは、自分に合った教材を徹底的に活用することです。どの教材を選ぶにしても、自分の目で中身を確認し、納得してから購入することが大切です。

さいごに、もう一度、頭の中を整理しよう

  • メネラウスの定理は、頂点を通らない直線が3辺(1辺は延長線)と交わるときの定理。
  • メネラウスの定理では、2つの内分点と1つの外分点が一直線上に並んでいる。
  • チェバの定理は、三角形の内部の点と各頂点を通る直線が3辺と交わるときの定理。
  • どちらの定理でも、頂点⇒内分点(外分点)⇒頂点…の順に辿って、元の頂点に戻るように立式できる。