数と式｜二重根号について

08/23/2023数学１

二重根号を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

各問は、根号の中に根号があるので、二重根号を扱った問題です。「計算せよ」と指示されていますが、要は「二重根号を外せ」ということです。

問１の解答・解説

問１

次の式を計算せよ。

\begin{align*} \quad \sqrt{5+2\sqrt{6}} \end{align*}

根号の中の式は、２項からなる多項式です。この多項式を変形して、２乗の形を作ります。

多項式の５と６に注目して、①式のａ，ｂに対応する２数を考えます。２数は、和が５、積６になる組合せです。

与式と①式を上下に並べてみると、２数の組合せを考えやすくなります。

与式と①式を比べる

\begin{align*} \quad \left(a+b \right) +2\sqrt{ab} = \left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)^{2} \quad \cdots \text{①} \end{align*}

与式から根号の中の式を抜き出すと

\begin{align*} \quad 5+2\sqrt{6} \end{align*}

これと①式の左辺とを比べると

\begin{align*} \quad a+b=5 \ , \ ab=6 \end{align*}

となる $2$ 数を考えれば良い。

組合せが分かれば因数分解します。このとき、２数のうち大きい方の数を前に書く習慣を付けておきましょう。

問１の解答例 1⃣

\begin{align*} \quad \sqrt{5+2\sqrt{6}} &= \sqrt{\left(\sqrt{3} \right)^{2}+2\sqrt{3}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2} \right)^{2}} \\[ 7pt ] &= \sqrt{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2} \right)^{2}} \end{align*}

因数分解が終わったら、外側の根号を外します。このとき絶対値の記号を付けておきましょう。

問１の解答例 2⃣

\begin{align*} \quad \sqrt{5+2\sqrt{6}} &= \sqrt{\left(\sqrt{3} \right)^{2}+2\sqrt{3}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2} \right)^{2}} \\[ 7pt ] &= \sqrt{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2} \right)^{2}} \\[ 7pt ] &= \left| \sqrt{3}+\sqrt{2} \right| \end{align*}

根号の中にある多項式の値の正負を吟味します。絶対値の規則に従って記号を外します。

問１の解答例 3⃣

\begin{align*} \quad &\vdots \\[ 7pt ] \quad &= \left| \sqrt{3}+\sqrt{2} \right| \end{align*}

ここで

\begin{align*} \quad \sqrt{3}+\sqrt{2} \gt 0 \end{align*}

より

\begin{align*} \quad \sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{3}+\sqrt{2} \end{align*}

「計算する」というよりも「変形する」と言う方が適切かもしれません。

問１のポイントと解答例をまとめると解答例は以下のようになります。慣れたら暗算で因数分解してしまいましょう。

問２の解答・解説

問２

次の式を計算せよ。

\begin{align*} \quad \sqrt{5+\sqrt{24}} \end{align*}

問１よりも難易度が上がりました。与式のままでは因数分解できません。気づきましたか？

与式と①式を比べてみると分かります。

与式と①式を比べる

\begin{align*} \quad \left(a+b \right) +2\sqrt{ab} = \left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)^{\scriptsize{2}} \quad \cdots \text{①} \end{align*}

与式から根号の中の式を抜き出すと

\begin{align*} \quad 5+\sqrt{24} \end{align*}

これと①式の左辺とを比べると

\begin{align*} \quad \underline{2}\sqrt{ab} \ , \ \sqrt{24} \end{align*}

より、式の形が異なる。

与式の多項式では、根号の前に２が付いていません。同じ形になっていないので、このままでは因数分解できません。

このような問題では、①式と同じ形に整えることを優先します。

平方根の性質を利用して、多項式の平方根を変形します。

問２の解答例 1⃣

\begin{align*} \quad \sqrt{24}=\sqrt{2^{2} \cdot 4}=2\sqrt{6} \end{align*}

より、与式は

\begin{align*} \quad \sqrt{5+\sqrt{24}} =\sqrt{5+2\sqrt{6}} \end{align*}

与式を変形すると、問１と同じ式になりました。あとは問１と同じ計算過程になります。

問２の解答例 2⃣

\begin{align*} \quad \sqrt{24}=\sqrt{2^{2} \cdot 4}=2\sqrt{6} \end{align*}

より、与式は

\begin{align*} \quad \sqrt{5+\sqrt{24}} =\sqrt{5+2\sqrt{6}} \end{align*}

問 $1$ の結果から

\begin{align*} \quad \sqrt{5+\sqrt{24}} &=\sqrt{5+2\sqrt{6}} \\[ 7pt ] &= \sqrt{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2} \right)^{2}} \\[ 7pt ] &= \left| \sqrt{3}+\sqrt{2} \right| \\[ 7pt ] &=\sqrt{3}+\sqrt{2} \quad \left(\because \sqrt{3}+\sqrt{2} \gt 0 \right) \end{align*}

問２のポイントと解答例をまとめると解答例は以下のようになります。

２乗の形に因数分解できるかどうかは、根号の前に２があるかどうかで決まる。必ず確認しよう。

問３の解答・解説

問３

次の式を計算せよ。

\begin{align*} \quad \sqrt{3+\sqrt{5}} \end{align*}

問３は問２以上に工夫しないと解けません。問２と同じように、平方根の性質を利用しても、根号の前に２ができません。

こんなとき、根号の中の多項式を分数にします。分母が２の分数に変形すると、分子を２倍することになります。この作業によって、根号の前に２ができます。

問３の解答例 1⃣

\begin{align*} \quad \sqrt{3+\sqrt{5}} &=\sqrt{\frac{2\left(3+\sqrt{5} \right)}{2}} \\[ 7pt ] &=\sqrt{\frac{6+2\sqrt{5}}{2}} \end{align*}

根号の前に２を作る方法

平方根の性質を利用して、平方根を変形する
根号の中にある多項式を、分母が２の分数にする

根号の中の式が分数になるので、平方根の性質を利用して、根号を分母と分子に分けます。根号を分けないままでも、分子の因数分解はできるので、この辺りは好みの問題です。

問３の解答例 2⃣

\begin{align*} \quad \sqrt{3+\sqrt{5}} &=\sqrt{\frac{2\left(3+\sqrt{5} \right)}{2}} \\[ 7pt ] &=\sqrt{\frac{6+2\sqrt{5}}{2}} \\[ 7pt ] &=\frac{ \sqrt{6+2\sqrt{5}} }{ \sqrt{2} } \end{align*}

分子が二重根号になっています。

和が６で、積が５になる２数の組合せを考えて、二重根号を外します。ただし、二重根号を外すとき、絶対値の記号を付けるのを忘れないようにします。

問３の解答例 3⃣

\begin{align*} \quad &\vdots \\[ 7pt ] &=\frac{ \sqrt{6+2\sqrt{5}} }{ \sqrt{2} } \end{align*}

ここで

\begin{align*} \quad \sqrt{6+2\sqrt{5}} &=\sqrt{\left(\sqrt{5} \right)^{2}+2\sqrt{5}\sqrt{1}+\left(\sqrt{1} \right)^{2} } \\[ 7pt ] &=\sqrt{ \left(\sqrt{5}+\sqrt{1} \right)^{2} } \\[ 7pt ] &=\left|\sqrt{5}+1 \right| \quad \left(\because \sqrt{1}=1 \right) \\[ 7pt ] &=\sqrt{5}+1 \quad \left(\because \sqrt{5}+1 \gt 0 \right) \end{align*}

これを分子に戻すと

\begin{align*} \quad \frac{ \sqrt{6+2\sqrt{5}} }{ \sqrt{2} }=\frac{\sqrt{5}+1}{ \sqrt{2} } \end{align*}

無事に分子の二重根号を外せましたが、分母に平方根があります。このまま放置せず、分母を有理化します。

問３の解答例 4⃣

\begin{align*} \quad &\vdots \\[ 7pt ] \quad &\frac{ \sqrt{6+2\sqrt{5}} }{ \sqrt{2} } =\frac{\sqrt{5}+1}{ \sqrt{2} } \end{align*}

さらに分母を有理化すると

\begin{align*} \quad \frac{\sqrt{5}+1}{ \sqrt{2} }=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2} \end{align*}

したがって

\begin{align*} \quad \sqrt{3+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2} \end{align*}

平方根の性質を利用したり、分母を有理化したりするので、優先順位を考えて上手に変形しなければなりません。かなり習熟度が問われる問題です。

計算過程が長くなりますが、手順を１つずつ確認しながら進めましょう。同時進行で複数の作業をすると、符号や約分のミスが多くなります。

問３のポイントと解答例をまとめると解答例は以下のようになります。

根号の前に２を作って解く問題は、平方根を変形する問２と、多項式を分数にする問３の２パターン。

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