確率｜確率の基本性質について

10/17/2021数学Ａ

前回、確率に関わる用語やその定義を学習したので、今回は確率の基本性質について学習しましょう。

基本性質と言うくらいなので、この性質を使いながら色々な事柄が起こる確率を求めていきます。確実に使えるようにしておきましょう。

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確率の基本的な性質

確率を求める式は基本的に１つだけです。ある事象が起こる確率であればこの式で求めることができるので、それほど難しくはありません。

１つの事象が起こる確率であれば、上述の式で簡単に求めることができます。

しかし、複数の事象が起こる確率となると、単純にこの式を使って求めることはできません。事象どうしの関係を考えないといけないからです。ここを間違うと、正しい確率を求めることができないので注意が必要です。

積事象・和事象、排反、余事象

まず用語を確認しましょう。最初は「積事象」と「和事象」です。

「共通部分」や「和集合」から呼び名が変わったと捉えると、理解に苦しむことはないでしょう。

このような事象について、積事象Ａ⋂Ｂが起こる確率をＰ(Ａ⋂Ｂ)、和事象Ａ⋃Ｂが起こる確率をＰ(Ａ⋃Ｂ)と表します。

２つの事象がともに起こることがあるとき

積事象と和事象が起こる確率について、一般に以下のような関係が成り立ちます。

和事象を求めるには、単純にそれぞれの事象が起こる確率を足せば良いわけではありません。それぞれの事象がともに起こる確率（積事象が起こる確率）を除外しなくてはなりません。

２つの事象がともに起こることがないとき

上の式では、２つの事象がともに起こることを踏まえています。しかし、２つの事象Ａ，Ｂがともに起こることがない（同時に起こらない）ときもあります。それが「排反」という関係です。

２つの事象Ａ，Ｂが互いに排反であれば、Ａ⋂Ｂ＝∅であるので、先ほどの式は以下のようになります。

Ａ⋂Ｂ＝∅であれば、積事象Ａ⋂Ｂの要素はありません。このとき、積事象Ａ⋂Ｂが起こる場合の数は０となるので、その確率はＰ(Ａ⋂Ｂ)＝０です。

このことから、和事象Ａ⋃Ｂが起こる確率は、２つの事象Ａ，Ｂがそれぞれ起こる確率の和だけで表されます。この式を加法定理と言うことがあります。

特定の事象が起こらないときの事象

さいごに「余事象」です。余事象は補集合をイメージすると分かりやすいでしょう。

事象Ａの余事象 $\overline{A}$ が起こる確率 $P(\bar{A})$ は以下のように表せます。

これまでをまとめると以下のようになります。

次は積事象や和事象を具体例で考えてみましょう。

積事象と和事象の関係式を使ってみよう

次の確率を求めてみましょう。

根元事象を正しく定めよう

試行は「５２枚のトランプの中から１枚のカードを引く」となります。次は事象についてですが、少し注意が必要です。

問題文には「ダイヤのカードを引く」や「絵札を引く」という文言がありますが、これらは根元事象ではないことに気を付けましょう。

これらはあくまでも事象の１つであって、根元事象となる事象ではありません。「ダイヤのカードを引く」や「絵札を引く」といった事象では、枚数が複数（結果が複数）あったり、枚数に違い（偏り）があったりして、同じ程度に起こると期待できないからです。

同じ程度に起こると期待できる根元事象は、必ず１通りの結果を要素にもつ事象です。そのことに注意して根元事象を定めましょう。

トランプなどのカードを引く場合の確率では、数字や絵柄で考えずに、カードをすべて区別して扱います。カードの数字や絵柄にこだわらずに１枚を引くとなれば、同じ程度に起こると期待できます。

以上のことから、根元事象は「区別した５２枚のカードをそれぞれ引く」となり、５２個の根元事象があることになります。また、全事象は、５２個の根元事象をまとめた事象です。

根元事象を定めたところで問われている確率を求めます。

事象の要素を数え上げよう

起こりうるすべての場合の数は、全事象の要素の個数から５２通りです。

ダイヤまたは絵札である事象は、ダイヤである事象と絵札である事象の和事象です。根元事象をきちんと定めてあるので、ダイヤである事象と絵札である事象を分けて考えることができます。

ダイヤのカードは１３枚あるので、ダイヤである事象は１３個の根元事象が含みます。これよりダイヤである事象が起こる場合の数は１３通りです。

同様にして、絵札のカードは１２枚あるので、絵札である事象は１２個の根元事象を含みます。これより絵札である事象が起こる場合の数は１２通りです。

２つの事象が互いに排反かどうかを確認しよう

２つの事象が起こる場合の数を求めたら、２つの事象が互いに排反であるかどうかを確認します。

ダイヤかつ絵札であるカードが３枚あるので、ダイヤである事象と絵札である事象は同時に起こる場合があります。

２つの事象は互いに排反ではないので、積事象であるダイヤかつ絵札である事象が存在します。

ダイヤかつ絵札のカードは３枚あるので、ダイヤかつ絵札である事象は３個の根元事象を含みます。ですから、この事象が起こる場合の数は３通りです。

ベン図を利用すると２つの事象の関係をイメージしやすくなります。

確率を求めよう

以上の考察をもとにして、ダイヤまたは絵札である事象が起こる確率を求めます。

左辺は積事象と和事象の関係式です。右辺は１つの分数にまとめただけですが、確率を求めるときの基本的な式です。

ここで、分子に注目すると、ダイヤまたは絵札である場合の数になっていることが分かります。このことから、確率の求め方は２通りあることが分かります。

長い解説になりましたが、最初なのでできるだけ丁寧に説明しました。慣れてくるとほとんどは省略して解くことになります。しかし、基本的な流れを押さえておくことは大切です。

積事象と和事象のポイントをまとめると以下のようになります。

次は排反（排反事象）を具体例で考えてみましょう。