確率｜確率の基本性質について

10/17/2021数学Ａ

積事象・和事象、余事象を扱った問題を解いてみよう

次の問題を考えてみましょう。

問

$1. \quad 52$ 枚のトランプの中から $1$ 枚のカードを引くとき、ハートまたはエースである確率を求めよ。

$2. \quad$ 白玉 $3$ 個と赤玉 $4$ 個が入っている袋から、$2$ 個の玉を同時に取り出すとき、次の確率を求めよ。

$(i) \quad 2$ 個とも同じ色である確率

$(ii) \quad$ 少なくとも $1$ 個は赤玉である確率

問１の解答・解説

問１

$52$ 枚のトランプの中から $1$ 枚のカードを引くとき、ハートまたはエースである確率を求めよ。

５２枚から１枚を引くときの根元事象は５２個あり、それらを含むのが全事象です。ですから、起こりうるすべての場合の数は５２通りです。

ハートまたはエースである事象は、ハートである事象とエースである事象の和事象です。この２つの事象は、互いに排反ではありません。ですから、ハートかつエースである事象（積事象）についても考慮しなければなりません。

各事象が起こる場合の数は以下のようになります。

各事象が起こる場合の数

全事象：５２通り
ハートである事象：１３通り
エースである事象：４通り
ハートかつエースである事象：１通り

以上をもとにハートまたはエースである確率を求めます。

問１の解答例

$52$ 枚のトランプから $1$ 枚を引くとき、場合の数は全部で $52$ 通り。

また、ハート、エース、ハートかつエースである場合の数は

ハートである場合の数 … $13$ 通り

エースである場合の数 … $4$ 通り

ハートかつエースである場合の数 … $1$ 通り

したがって、ハートまたはエースである確率は

\begin{align*} \quad \frac{13}{52} + \frac{4}{52} – \frac{1}{52} &= \frac{13+4-1}{52} \\[ 7pt ] &= \frac{16}{52} \\[ 7pt ] &= \frac{4}{13} \end{align*}

問１のポイントと解答例をまとめると以下の通りです。

問２の解答・解説

問２(i)

白玉 $3$ 個と赤玉 $4$ 個が入っている袋から、$2$ 個の玉を同時に取り出すとき、次の確率を求めよ。

$2$ 個とも同じ色である確率

白玉と赤玉の合わせて７個から２個を同時に取り出します。このときの取り出し方は、２個の玉の組合せの総数です。すべての玉を区別して組合せの総数を求めると、全部で ${}_7 \mathrm{ C }_2$ 通りです。

このとき、根元事象は ${}_7 \mathrm{ C }_2$ 個あり、それらを含むのが全事象です。ですから、起こりうるすべての場合の数は ${}_7 \mathrm{ C }_2$ 通りです。

２個とも同じ色である事象は、２個とも白色である事象と２個とも赤色である事象の和事象です。この２つの事象は、同時に起こることはないので、互いに排反です。

各事象が起こる場合の数は以下のようになります。

各事象が起こる場合の数

全事象： ${}_7 \mathrm{ C }_2$ 通り
２個とも白色である事象： ${}_3 \mathrm{ C }_2$ 通り
２個とも赤色である事象： ${}_4 \mathrm{ C }_2$ 通り

以上をもとに２個とも同じ色である確率を求めます。

問２(i)の解答例

$7$ 個の玉から $2$ 個の玉を同時に取り出すとき、場合の数は全部で ${}_7 \mathrm{ C }_2$ 通り。

また、$2$ 個とも白色である場合の数は ${}_3 \mathrm{ C }_2$ 通りで、$2$ 個とも赤色である場合の数は ${}_4 \mathrm{ C }_2$ 通り。

ここで、$2$ 個とも白色である事象と $2$ 個とも赤色である事象は互いに排反である。

したがって、$2$ 個とも同じ色である確率は

\begin{align*} \quad \frac{{}_3 \mathrm{ C }_2}{{}_7 \mathrm{ C }_2} + \frac{{}_4 \mathrm{ C }_2}{{}_7 \mathrm{ C }_2} &= \frac{3 \cdot 2}{7 \cdot 6}+\frac{4 \cdot 3}{7 \cdot 6} \\[ 7pt ] &= \frac{3 \cdot 2+4 \cdot 3}{7 \cdot 6} \\[ 7pt ] &= \frac{1+2}{7} \\[ 7pt ] &= \frac{3}{7} \end{align*}

計算のやり方は解答例の通りでなくても構いません。計算ミスをしないように注意しましょう。

問２(ii)では、問題文の文言に注目しましょう。

問２(ii)

白玉 $3$ 個と赤玉 $4$ 個が入っている袋から、$2$ 個の玉を同時に取り出すとき、次の確率を求めよ。

少なくとも $1$ 個は赤玉である確率

問題文に「少なくとも」という文言があるので、余事象を利用します。

少なくとも１個は赤玉である事象の余事象は、２個とも白玉である事象です。

２個とも白玉である事象が起こる場合の数は ${}_3 \mathrm{ C }_2$ 通りです。以上をもとに少なくとも１個は赤玉である確率を求めます。

問２(ii)の解答例

$7$ 個の玉から $2$ 個の玉を同時に取り出すとき、場合の数は全部で ${}_7 \mathrm{ C }_2$ 通り。

また、$2$ 個とも白色である場合の数は ${}_3 \mathrm{ C }_2$ 通り。

したがって、少なくとも $1$ 個は赤色である確率は

\begin{align*} \quad 1-\frac{{}_3 \mathrm{ C }_2}{{}_7 \mathrm{ C }_2} &= 1-\frac{3 \cdot 2}{7 \cdot 6} \\[ 7pt ] &= 1-\frac{1}{7} \\[ 7pt ] &= \frac{6}{7} \end{align*}

余事象を利用せずに求めることもできます。しかし、余事象を利用した方が楽な計算になるので、積極的に利用しましょう。

問２のポイントと解答例をまとめると以下の通りです。