複素数と方程式｜２つの数を解とする２次方程式の作成について

06/04/2021数学２

２つの数を解とする２次方程式の作成を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

問

$\begin{align*} &\text{$2$ 次方程式} \\[ 5pt ] &\quad 2x^{\scriptsize{2}}-x+3=0 \\[ 7pt ] &\text{の $2$ つの解を} \\[ 5pt ] &\quad \alpha \ , \ \beta \\[ 7pt ] &\text{とするとき、$2$ 数} \\[ 5pt ] &\quad {\alpha}^{\scriptsize{2}} \ , \ {\beta}^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ] &\text{を解とする $2$ 次方程式を} \\[ 5pt ] &\text{$1$ つ作れ。} \end{align*}$

問題文を注意深く読み、与えられた式や数の関係を理解しましょう。

問の解答・解説

α，βは、予め与えられた２次方程式の解です。α，βは、これから作る２次方程式の解ではありません。

これから作る２次方程式の解はα²，β²です。きちんと区別しましょう。

情報を整理して、対応関係を把握しよう

α，β ：２次方程式２ｘ²－ｘ＋３＝０の解
α²，β² ：これから作る２次方程式の解

とりあえず、混乱を避けるために、求めたい２次方程式を作ってしまいます。

問の解答例 1⃣

$\begin{align*} &\text{${\alpha}^{\scriptsize{2}} \ , \ {\beta}^{\scriptsize{2}}$ を解とする $2$ 次方程式の $1$ つは} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}-\left({\alpha}^{\scriptsize{2}}+{\beta}^{\scriptsize{2}} \right)x+{\alpha}^{\scriptsize{2}} {\beta}^{\scriptsize{2}}=0 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\text{と表せる。} \end{align*}$

①式から、２次方程式を決定するには、１次の項の係数と定数項を求めれば良いことが分かります。これらを求めるには、α，βの値が必要です。しかし、α，βの値を個別に求める必要はありません。

和や積を見て気付くのは、解と係数の関係です。与えられた２次方程式を利用すると、α，βの値自体を知ることはできませんが、α，βの和と積を求めることができます。

問の解答例 2⃣

$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 5pt ] &\text{ここで、$2$ 次方程式} \\[ 5pt ] &\quad 2x^{\scriptsize{2}}-x+3=0 \\[ 7pt ] &\text{において、解と係数の関係より} \\[ 5pt ] &\quad \alpha + \beta= -\frac{-1}{2} =\frac{1}{2} \quad \cdots \text{②} \\[ 7pt ] &\quad \alpha \beta= \frac{3}{2} \quad \cdots \text{③} \end{align*}$

解と係数の関係から、α，βの和と積を求めることができました。これらを利用して、①式の係数や定数項を求めます。

問の解答例 3⃣

$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}-\left({\alpha}^{\scriptsize{2}}+{\beta}^{\scriptsize{2}} \right)x+{\alpha}^{\scriptsize{2}} {\beta}^{\scriptsize{2}}=0 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 5pt ] &\quad \alpha + \beta= -\frac{-1}{2} =\frac{1}{2} \quad \cdots \text{②} \\[ 7pt ] &\quad \alpha \beta= \frac{3}{2} \quad \cdots \text{③} \\[ 7pt ] &\text{①において} \\[ 5pt ] &\quad {\alpha}^{\scriptsize{2}}+{\beta}^{\scriptsize{2}} = \left(\alpha+\beta \right)^{\scriptsize{2}}-2\alpha \beta \\[ 7pt ] &\quad {\alpha}^{\scriptsize{2}} {\beta}^{\scriptsize{2}} = \left(\alpha \beta \right)^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ] &\text{となるので、②，③より} \\[ 5pt ] &\quad {\alpha}^{\scriptsize{2}}+{\beta}^{\scriptsize{2}} = \left(\frac{1}{2} \right)^{\scriptsize{2}}-2 \cdot \frac{3}{2} = -\frac{11}{4} \\[ 7pt ] &\quad {\alpha}^{\scriptsize{2}} {\beta}^{\scriptsize{2}} = \left(\frac{3}{2} \right)^{\scriptsize{2}} =\frac{9}{4} \end{align*}$

これで①式の係数と定数項を求めることができました。これらを①式に代入します。

問の解答例 4⃣

$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}-\left({\alpha}^{\scriptsize{2}}+{\beta}^{\scriptsize{2}} \right)x+{\alpha}^{\scriptsize{2}} {\beta}^{\scriptsize{2}}=0 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 5pt ] &\quad {\alpha}^{\scriptsize{2}}+{\beta}^{\scriptsize{2}} = \left(\frac{1}{2} \right)^{\scriptsize{2}}-2 \cdot \frac{3}{2} = -\frac{11}{4} \\[ 7pt ] &\quad {\alpha}^{\scriptsize{2}} {\beta}^{\scriptsize{2}} = \left(\frac{3}{2} \right)^{\scriptsize{2}} =\frac{9}{4} \\[ 7pt ] &\text{これらを①に代入すると} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}-\left(-\frac{11}{4} \right)x+\frac{9}{4}=0 \\[ 7pt ] &\text{すなわち} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}+\frac{11}{4} x+\frac{9}{4}=0 \\[ 7pt ] &\text{両辺に $4$ を掛けると} \\[ 5pt ] &\quad 4x^{\scriptsize{2}}+11x+9 = 0 \end{align*}$

問のように、作った２次方程式の係数や定数項が分数になることがあります。このような場合には、適当な数を両辺に掛けて、できるだけ簡単な整数にします。

「２数がどのような等式を満たすか」から２次方程式を作成する

問について別な視点から考えてみましょう。問において、α，βは、与えられた２次方程式の解です。ですから、方程式に解α，βを代入したとき、等式が成り立ちます。

問の別解例 1⃣

$\begin{align*} &\text{$\alpha \ , \ \beta$ は $2$ 次方程式} \\[ 5pt ] &\quad 2x^{\scriptsize{2}}-x+3=0 \\[ 7pt ] &\text{の解であるので、等式} \\[ 5pt ] &\quad 2{\alpha}^{\scriptsize{2}}-{\alpha}+3=0 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad 2{\beta}^{\scriptsize{2}}-{\beta}+3=0 \quad \cdots \text{②} \\[ 7pt ] &\text{が成り立つ。} \end{align*}$

①，②式を一般化したものが、与えられた２次方程式です。①，②式を一般化すると、同じ２次方程式になります。ですから、α，βは、与えられた２次方程式の解となるわけです。

この考え方を利用して、α²，β²がどのような等式が成り立つのかを考えれば、求めたい２次方程式を得ることができます。

問の別解例 2⃣

$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad 2{\alpha}^{\scriptsize{2}}-{\alpha}+3=0 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad 2{\beta}^{\scriptsize{2}}-{\beta}+3=0 \quad \cdots \text{②} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\text{①を変形して} \\[ 5pt ] &\quad 2{\alpha}^{\scriptsize{2}}+3={\alpha} \\[ 7pt ] &\text{両辺を $2$ 乗して整理すると} \\[ 5pt ] &\quad 4{\alpha}^{\scriptsize{4}}+11{\alpha}^{\scriptsize{2}}+9=0 \\[ 7pt ] &\text{これに ${\alpha}^{\scriptsize{2}}=\gamma$ を代入すると} \\[ 5pt ] &\quad 4{\gamma}^{\scriptsize{2}}+11{\gamma}^{\scriptsize{2}}+9=0 \quad \cdots \text{③} \\[ 7pt ] &\text{${\beta}^{\scriptsize{2}}=\delta$ についても同様に、②より} \\[ 5pt ] &\quad 4{\delta}^{\scriptsize{2}}+11{\delta}^{\scriptsize{2}}+9=0 \quad \cdots \text{④} \\[ 7pt ] &\text{が成り立つ} \\[ 5pt ] &\text{③，④から $\gamma \ , \ \delta$ を解とする} \\[ 5pt ] &\text{$2$ 次方程式は} \\[ 5pt ] &\quad 4x^{\scriptsize{4}}+11x^{\scriptsize{2}}+9=0 \end{align*}$

③，④式から分かるように、γ，δの部分は異なりますが、係数や定数項は同じ等式です。

このような③，④式を一般化すると、同じ２次方程式になります。このことから、γ，δは共通の２次方程式の解であると考えることができます。γ＝α²，δ＝β²なので、この方程式が２つの解α²，β²をもつ２次方程式になります。

方程式の解と成り立つ等式の関係を理解することが大切です。たとえば、グラフの式と座標もこの関係に相当します。

少し難しい考え方かもしれませんが、記述形式の問題では意外と出題されています。覚えておきたい事項です。

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