図形の性質｜接線と弦について

10/17/2021数学Ａ

今回は接線と弦について学習しましょう。接線と弦を扱った問題であれば、必ずと言って良いほど出題される定理が出てきます。

これまでと同じように図形とセットで定理を覚えましょう。そして、図形を見たときに定理を利用可能かを瞬時に判断できるようになっておきましょう。

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接線と弦

この単元で学習する事項は主に２つあります。

接線の長さとは、円の外部の１点と接点との距離のことです。ですから、円の外部の１点から円に接線を引いたときの話になります。

円の外部の１点から円の接線を２本引くことができます。このとき、接線の長さはともに等しくなります。この性質については、すでに内心の単元で触れられています。

また、接弦定理とは、接点を通る弦と接線とがつくる角は、その角の内部にある弧に対する円周角と等しくなるという定理です。その角の内部にある弧とは、弦によって円周が２つの弧に分けられたときの、弦と接線に挟まれた弧を指します。

次は性質や定理が成り立つことを確認してみましょう。

接線の長さが等しいことを証明しよう

中心をＯとする円に、円の外部にある点Ｐから接線を２本引きます。このとき、２本の接線と円との交点（接点）ができるので、それぞれＡ，Ｂとします。

また、２点Ａ，Ｂを中心Ｏと線分で結びます。さらに、２点Ｏ，Ｐを線分で結ぶと、２つの三角形△ＯＡＰ，△ＯＢＰができます。

△ＯＡＰと△ＯＢＰに注目します。

△ＯＡＰと△ＯＢＰの関係

$\triangle OAP$ と $\triangle OBP$ において

\begin{align*} \quad AP \perp OA \ , \ BP \perp OB \end{align*}

より、$\triangle OAP$ と $\triangle OBP$ は直角三角形。

ここで

\begin{align*} &\quad OA = OB \\[ 7pt ] &\quad OP = OP \end{align*}

が成り立つので

\begin{align*} \quad \triangle OAP \equiv \triangle OBP \end{align*}

よって

\begin{align*} \quad AP = BP \end{align*}

△ＯＡＰと△ＯＢＰは合同な三角形になります。辺ＡＰ，ＢＰの長さが等しくなるので、接線の長さも等しくなります。接線の長さが等しいことの証明は、直角三角形の合同証明で行います。

次は、接弦定理が成り立つことを証明してみましょう。

接弦定理を証明しよう

接弦定理を証明する前に、角の大きさについて確認しておきます。一般に、角の大きさは３つに分類されます。

この３つの分類を考慮すると、３つの場合に分けて接弦定理を証明する必要があることが分かります。

それぞれのパターンで接弦定理が成り立つか、自分で実際に証明してみましょう。

タネを知ってしまえば大したことではありませんが、初見では意外と難しいので、力試しに挑戦してみると良いでしょう。

接点を通る弦と接点とがつくる角が鋭角のとき

円の周上に３点Ａ，Ｂ，Ｃがあり、点Ａで直線と接しています。また、接線上には点Ａのほかに点Ｔがあります。このとき、接点を通る弦ＡＢと接線ＡＴとがつくる角は∠ＢＡＴです。

∠ＢＡＴが鋭角のとき、接弦定理が成り立つことを証明します。ただし、このままでは証明できないので、少し手を加えます。接点Ａを通る直径を引き、これと円との交点をＤとします。

まず、△ＡＢＤに注目します。

△ＡＢＤに注目

$\triangle ABD$ において、直径 $AD$ に対する円周角より

\begin{align*} \quad \angle ABD = 90^{\circ} \end{align*}

これと三角形の内角の和より

\begin{align*} \quad \angle ADB = 90^{\circ} – \angle BAD \quad \cdots \text{①} \end{align*}

次は、直径ＡＤと接線に注目します。

直径ＡＤと接線に注目

$AD \perp AT$ より

\begin{align*} \quad \angle DAT = 90^{\circ} \end{align*}

ここで

\begin{align*} \quad \angle DAT = \angle BAD + \angle BAT \end{align*}

より

\begin{align*} \quad \angle BAT = 90^{\circ} – \angle BAD \quad \cdots \text{②} \end{align*}

①，②式から∠ＡＤＢと∠ＢＡＴの関係を導くことができます。

∠ＡＤＢと∠ＢＡＴの関係を導く

\begin{align*} &\quad \angle ADB = 90^{\circ} – \angle BAD \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad \angle BAT = 90^{\circ} – \angle BAD \quad \cdots \text{②} \end{align*}

①，②より

\begin{align*} \quad \angle ADB = \angle BAT \quad \cdots \text{③} \end{align*}

さいごに、弧ＡＢに対する円周角に注目します。

弧ＡＢに対する円周角に注目

$\angle ACB \ , \ \angle ADB$ は $\stackrel{ \Large \frown }{ AB }$ に対する円周角より

\begin{align*} \quad \angle ACB = \angle ADB \quad \cdots \text{④} \end{align*}

③，④より

\begin{align*} \quad \angle ACB = \angle BAT \quad \cdots \text{⑤} \end{align*}

∠ＢＡＴは、接点を通る弦ＡＢと接線とがつくる角です。また、∠ＡＣＢは、∠ＢＡＴの内部にある弧ＡＢに対する円周角です。

⑤式から、接点を通る弦と接線とがつくる角が鋭角のとき、接弦定理が成り立つことを証明できました。

接点を通る弦と接線とがつくる角が直角のとき

円の周上に３点Ａ，Ｂ，Ｃがあり、点Ａで直線と接しています。また、接線上には点Ａのほかに点Ｔがあります。このとき、接点を通る弦ＡＢと接線ＡＴとがつくる角は∠ＢＡＴです。

∠ＢＡＴが直角のとき、接弦定理が成り立つことを証明します。なお、この証明では、直角がすでにできているので、補助線を加える必要はありません。

△ＡＢＣに注目

$\triangle ABC$ において、直径 $AB$ に対する円周角より

\begin{align*} \quad \angle ACB = 90^{\circ} \quad \cdots \text{①} \end{align*}

また、$AB \perp AT$ より

\begin{align*} \quad \angle BAT = 90^{\circ} \quad \cdots \text{②} \end{align*}

①，②より

\begin{align*} \quad \angle ACB = \angle BAT \quad \cdots \text{③} \end{align*}

③式から、接点を通る弦と接点とがつくる角が直角のとき、接弦定理が成り立つことを証明できました。

接点を通る弦と接線とがつくる角が鈍角のとき

円の周上に３点Ａ，Ｂ，Ｃがあり、点Ａで直線と接しています。また、接線上には点Ａのほかに点Ｔがあります。このとき、接点を通る弦ＡＢと接線ＡＴとがつくる角は∠ＢＡＴです。

∠ＢＡＴが鈍角のとき、接弦定理が成り立つことを証明します。ただし、このままでは証明できないので、少し手を加えます。接線上に接点Ａに関して点Ｔと反対側に点Ｓを取ります。

まず、∠ＣＡＳに注目します。∠ＣＡＳは接点Ａを通る弦ＡＣと接線とがつくる角です。∠ＣＡＳは鋭角になりますが、このとき接弦定理が成り立つことはすでに証明されています。

∠ＣＡＳに注目

$\angle BAT$ が鈍角であるので、$\angle CAS$ は鋭角。

このとき、$\angle CAS$ について接弦定理が成り立つので

\begin{align*} \quad \angle CAS = \angle ABC \quad \cdots \text{①} \end{align*}

次は、△ＡＢＣに注目します。

△ＡＢＣに注目

$\triangle ABC$ において、内角の和より

\begin{align*} \quad \angle ACB = 180^{\circ} – ( \angle ABC + \angle BAC ) \end{align*}

これと①より

\begin{align*} \quad \angle ACB = 180^{\circ} – ( \angle CAS + \angle BAC ) \quad \cdots \text{②} \end{align*}

さいごに、∠ＢＡＴに注目します。

∠ＢＡＴに注目

\begin{align*} \quad \angle CAS + \angle BAC + \angle BAT = 180^{\circ} \end{align*}

であるので

\begin{align*} \quad \angle BAT = 180^{\circ} – ( \angle CAS + \angle BAC ) \quad \cdots \text{③} \end{align*}

②，③より

\begin{align*} \quad \angle ACB = \angle BAT \quad \cdots \text{④} \end{align*}

④式から、接点を通る弦と接点とがつくる角が鈍角のとき、接弦定理が成り立つことを証明できました。この証明では、接点を通る弦と接線とがつくる角が鋭角のときに接弦定理が成り立つことを利用するので注意しましょう。

接弦定理を利用するときの注意点

接弦定理は、証明から分かったように、接点を通る弦と接線とがつくる角の大きさによらず成り立ちます。

また、接弦定理は、接点を通る弦の本数に合わせて、大きさの等しい角の組が存在します。

たとえば、△ＡＢＣの外接円があり、外接円と直線とが頂点Ａで接しているとします。このとき、接点Ａを通る弦はＡＢ，ＡＣの２本あるので、それぞれの弦で接弦定理が成り立ちます。

三角形の外接円で成り立つ接弦定理

弦 $AB$ において、接弦定理より

\begin{align*} \quad \angle ACB = \angle BAT \end{align*}

弦 $AC$ において、接弦定理より

\begin{align*} \quad \angle ABC = \angle CAS \end{align*}

大きさの等しい角が２組できます。どちらの組にも記号を入れて、見落とさないようにしましょう。

次は接線や弦を扱った問題を実際に問題を解いてみましょう。