図形と計量｜三角形の面積について

05/20/201707/23/2018数学１三角比,三角形の面積,三角比の相互関係,余弦定理,図形と計量

今回は、三角形の面積について学習しましょう。今さら三角形の面積と思うでしょうが、三角比を使って求めます。

正弦定理や余弦定理を扱うようになると、図形との関わりがより強くなってきたのが分かると思います。三角形の面積もその１つです。

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参考図形と計量｜三角比の定義について
参考図形と計量｜三角比の拡張について
参考図形と計量｜三角比の相互関係についてその１
参考図形と計量｜三角比の相互関係についてその２

三角形の面積を三角比を使って表す

これまで三角形の底辺や高さを使って面積を求めていました。

三角形の面積
三角形の底辺を $a$、高さを $h$ とすると、三角形の面積 $S$ は
\begin{equation*}
S = \frac{1}{2} a h
\end{equation*}

三角形の面積を求めるとき、この公式を使えば良いことはみんな知っています。高校ではこの公式を三角比を使って表します。新しい式が出てきたと言っても、三角比に置き換わっただけです。どの部分が置き換わったのかを知っておきましょう。

三角比を使った式を導出してみよう

公式を見て分かるように、底辺と高さが分かれば三角形の面積を求めることができます。ここで三角比を思い出してみましょう。

△ABCの∠Aに対する三角比
\begin{align*}
&\sin A = \frac{a}{c} \\[ 5pt ]
&\cos A = \frac{b}{c} \\[ 5pt ]
&\tan A = \frac{a}{b}
\end{align*}

この三角比のうち正弦に注目します。

$a$ について変形すると
\begin{align*}
\sin A &= \frac{a}{c} \\[ 5pt ]
a &= c \sin A
\end{align*}

正弦の式を変形すると、高さ $a$ は斜辺の長さ $c$ と∠Aに対する正弦 $\sin A$ で表されることが分かります。

つまり、高さを三角比で表した式に置き換えることによって、新たな三角形の面積の公式を導出することができます。このことがどんな三角形にも成り立つのかを考えてみましょう。

鋭角三角形の面積

図のような鋭角三角形△ABCを考えてみましょう。△ABCの底辺を辺ABとすると、高さは頂点Cから辺ABに下ろした垂線CHの長さになります。

このとき高さCHを三角比を使って表してみましょう。∠Aに対する正弦を使います。

\begin{align*}
&\text{直角三角形△ACHについて三角比の定義より} \\[ 5pt ]
&\sin A = \frac{CH}{AC} \\[ 5pt ]
&\text{これをCHについて変形すると} \\[ 5pt ]
&CH = AC \sin A \\[ 5pt ]
\therefore \ &CH = b \sin A
\end{align*}

これを三角形の面積の公式に代入して整理すると、三角比を用いた式が得られます。

\begin{align*}
S &= \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH \\[ 5pt ]
&= \frac{1}{2} \cdot c \cdot b \sin A \\[ 5pt ]
&= \frac{1}{2} bc \sin A
\end{align*}

導出された式を見ると、鋭角三角形の面積は、２辺の長さ $b \ , \ c$ とその挟む∠Aに対する正弦 $\sin A$ で表されることが分かります。

導出すること自体は決して難しくない。きちんと理解して覚えよう。

鈍角三角形の面積

鈍角三角形の場合も同じようにして導出します。図のような鈍角三角形△ABCを考えてみましょう。

注意したいのは、垂線を引くときです。図のような鈍角三角形の場合、頂点Cから辺ABに垂線を下ろせません。このような場合は延長線を引きます。意外とできない人がいるので注意しましょう。

直角三角形ができていますが、角の大きさに注意しましょう。∠BACと∠CAHは同じ角ではありません。

\begin{align*}
&\text{直角三角形△ACHについて三角比の定義より} \\[ 5pt ]
&\sin \angle {CAH} = \frac{CH}{AC} \\[ 5pt ]
&\sin \left( 180^{\circ} -A \right) = \frac{CH}{AC} \\[ 5pt ]
&\text{これをCHについて変形すると} \\[ 5pt ]
&CH = AC \sin \left( 180^{\circ} -A \right) \\[ 5pt ]
&\text{ここで} \ \sin \left( 180^{\circ} -A \right) = \sin A \ \text{より} \\[ 5pt ]
&CH = AC \sin A \\[ 5pt ]
\therefore \ &CH = b \sin A
\end{align*}

結果的に $\sin A$ が出てきましたが、あくまでも結果的にです。どの角に対する正弦なのかを間違えないようにしましょう。また、三角比の拡張も利用しているので、しっかり使いこなせるようにしておきましょう。

これを三角形の面積の公式に代入して整理すると、三角比を用いた式が得られます。

\begin{align*}
S &= \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH \\[ 5pt ]
&= \frac{1}{2} \cdot c \cdot b \sin A \\[ 5pt ]
&= \frac{1}{2} bc \sin A
\end{align*}

鈍角三角形でも鋭角三角形と同じ式が導出されました。このように三角形の面積は、２辺の長さとその挟む角に対する正弦とを用いて表されます。

三角形の面積の公式
三角形の２辺の長さを $b \ , \ c$、その挟む角の大きさを $A$ とする。
このとき三角形の面積 $S$ は以下のように表せる。
\begin{equation*}S = \frac{1}{2} bc \sin A
\end{equation*}