図形と計量｜三角形の面積について

12/18/2021数学１

三角形の面積を求めてみよう（基本編）

次の問題を解いてみましょう。

問１の解答・解説

問１

$b=10 \ , \ c=6 \ , \ A=60^{\circ}$ である $\triangle ABC$ の面積を求めよ。

問１は、三角形の面積を求める問題です。図形の問題なので、作図しましょう。

辺の長短や角の大小関係ができるだけ正確な図にしましょう。

また、公式の文字との対応関係が分かるように「ａ＝～」と書き込んでおきましょう。

そうすれば、公式との連携もスムーズになります。与えられた数量をもとに作図すると、図のようになります。

図から、２辺の長さとその挟む角の大きさが分かっているので、公式に代入すれば面積を求めることができます。

問１の解答例

$\triangle ABC$ の面積 $S$ は

\begin{align*} \quad S &= \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AB \sin A \\[ 7pt ] &= \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 \cdot \sin {60^{\circ}} \\[ 7pt ] &= \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\[ 7pt ] &= 15\sqrt{3} \end{align*}

問１のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。

問１は、公式を使うための基本的な問題です。公式をしっかり書いて、文字に対応する数を代入して解きましょう。

三角形の面積を求めてみよう（標準編）

次の問題を解いてみましょう。

入試レベルでは基礎レベルですが、よくある形式の問題です。

問２の解答・解説

問２

$\triangle ABC$ において、$a=7 \ , \ b=8 \ , \ c=9$ のとき、次の値を求めよ。

$(i) \quad \cos A$

$(ii) \quad \sin A$

$(iii) \quad \text{面積} \ S$

問２は小問形式になっていますが、最終的に求めたいのは三角形の面積です。図形の問題なので、作図しましょう。

辺の長短や角の大小関係ができるだけ正確な図にしましょう。

与えられた数量をもとに作図すると、図のようになります。

問２(i)は、∠Ａに対する余弦ｃｏｓＡを求める問題です。３辺の長さが与えられているので、余弦定理を利用します。

問２(i)の解答例

余弦定理より

\begin{align*} \quad \cos A &= \frac{b^{2} + c^{2} – a^{2}}{2bc} \\[ 7pt ] &= \frac{8^{2} + 9^{2} – 7^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 9} \\[ 7pt ] &= \frac{64 + 81 – 49}{2 \cdot 8 \cdot 9} \\[ 7pt ] &= \frac{96}{2 \cdot 8 \cdot 9} \\[ 7pt ] &= \frac{2}{3} \end{align*}

分子を優先して整理し、最後に約分をします。

問２(ii)は、∠Ａに対する正弦ｓｉｎＡを求める問題です。問２(i)の結果と三角比の相互関係とを利用します。

問２(ii)の解答例

三角比の相互関係より

\begin{align*} &\quad \sin^{2}{A} + \cos^{2}{A} = 1 \\[ 7pt ] &\quad \sin^{2}{A} = 1- \cos^{2}{A} \\[ 7pt ] &\quad \sin^{2}{A} = 1- \left( \frac{2}{3} \right)^{2} \\[ 7pt ] &\quad \sin^{2}{A} = \frac{5}{9} \end{align*}

$0^{\circ} \lt A \lt 180^{\circ}$ より

\begin{align*} \quad \sin A \gt 0 \end{align*}

よって

\begin{align*} \quad \sin A = \frac{\sqrt{5}}{3} \end{align*}

最後に正負の吟味があるので忘れないようにしましょう。

問２(iii)は、△ＡＢＣの面積Ｓを求める問題です。２辺の長さとその挟む角に対する正弦とが分かったので、公式を使って求めることができます。

問２(iii)の解答例

$\triangle ABC$ の面積 $S$ は

\begin{align*} \quad S &= \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AB \sin A \\[ 7pt ] &= \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 9 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} \\[ 7pt ] &= 12\sqrt{5} \end{align*}

問２のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。

一般に、問２のように小問形式の最後に出題されることが多いのが面積や体積の問題です。

たいていの場合、いくつかの小問を経てから面積を求めることになります。計算ミスをすると、次の小問の答えにも影響が出るので注意が必要です。

これが入試レベルの問題になると、いきなり小問(iii)だけが出題されることもあります。この場合であっても、小問(i)，(ii)の結果が必要になるので、問２を解くような答案になります。

このような問題に対応するには、問２のような問題を解きこなし、面積を求めるまでの流れを把握しておかなければなりません。基本レベルの単問形式だけを解いていても、対処するのが難しいかもしれません。

単問形式は公式や定理を使うための練習問題。入試レベルに対応するためにも小問形式の問題を多く演習しよう。

Recommended books

図形の問題は、気付けないと全くと言って良いほど手も足も出なくなります。気付けるかどうかはやはり日頃から作図したり、図形を色んな角度から眺めたりすることだと思います。

そのためにもやはり演習量は大切です。はじめのうちは何事も質よりも量の方を意識してこなす方が良いと思います。全体を一度通ってから質を考えると効率が良いでしょう。

演習をこなすとなると、単元別になった教材を使って集中的にこなすと良いでしょう。網羅型でも良いですが、苦手意識のある単元であれば、単元別に特化した教材の方が良いかもしれません。

オススメその１

分野ごとに押さえていくのに役立つのは『高速トレーニング』シリーズです。三角関数、ベクトル、数列などの分野もあります。

ここで紹介するのは『数学１高速トレーニング三角比編』です。

三角比に苦手意識のある人にとって、躓きやすいところを解説してあるので良い教材だと思います。基礎の定着に向いた教材です。

これで自信がついたら、チャートなどのもう少し難易度の高い問題を扱った教材に取り組むと良いでしょう。三角比は三角関数に関わるので、ここでしっかりマスターしておきましょう。

数学１高速トレーニング三角比編

created by Rinker

オススメその２

『改訂版坂田アキラの三角比・平面図形が面白いほどわかる本』もおすすめです。

計算過程が省略されず、丁寧に記述されているので、計算の途中で躓くこともほとんどないでしょう。苦手な人や初学者にとって良い補助教材になると思います。

坂田のビジュアル解説で最近流行りの空間図形までフォロー!

数学１「図形と計量」（いわゆる三角比）と数学Ａ「図形の性質」の基本事項をまとめ、それぞれの典型問題および融合問題の考え方・解き方がていねいに解説されています。

また、今回の改訂により、近年の大学入試（上位から下位まで幅広く）で頻出の空間図形の問題を厚くしました。