数学Ａ｜整数の問題で合同式を使ってみよう

例題(3)

$n$ が奇数であるとき、$n^{5}-n$ が $120$ の倍数であることを証明せよ。

例題(3)の解答例

\begin{align*} n^5-n &= n \left(n^4-1 \right) \\[ 7pt ] &= n \left(n^2-1 \right) \left(n^2+1 \right) \end{align*}

$(1) \ , \ (2)$ より、$n$ が奇数であるとき、$n^5-n$ は $8$ かつ $3$ の倍数である。

\begin{align*} \quad 120 = 2^3 \times 3 \times 5 \end{align*}

であるので、$n$ が奇数であるとき、$n^5-n$ は $5$ の倍数であることを示せばよい。

$n$ が奇数であるので、$n$ を $5$ で割ったときの余りは

\begin{align*} \quad 0 \ , \ 1 \ , \ 2 , \ 3 , \ 4 \end{align*}

である。

よって

\begin{align*} \quad n \equiv 0 \ , \ 1 \ , \ 2 , \ 3 , \ 4 \pmod 5 \end{align*}

ここで

\begin{align*} \begin{array}{c|ccccc} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline n^5 & 0 & 1^5 \equiv 1 & 2^5 \equiv 2 & 3^5 \equiv 3 & 4^5 \equiv 4 \\ \hline n^{5}-n & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \end{align*}

表より

\begin{align*} \quad n^5-n \equiv 0 \pmod 5 \end{align*}

よって、$n$ が奇数のとき、$n^{5}-n$ は $8$ かつ $3$ かつ $5$ の倍数、すなわち $120$ の倍数である。

例題(3)の別解例１

\begin{align*} &n^5-n \\[ 7pt ] = \ &\left(n-1 \right) n\left(n+1 \right) \left(n^2+1 \right) \\[ 7pt ] = \ &\left(n-1 \right) n\left(n+1 \right) \left\{ \left(n+2 \right) \left(n+3 \right) -5\left(n+1 \right) \right\} \\[ 7pt ] = \ &\left(n-1 \right) n\left(n+1 \right) \left(n+2 \right) \left(n+3 \right) -5\left(n-1 \right) n \left(n+1 \right)^2 \end{align*}

ここで

\begin{align*} \quad (n-1) \ , \ n \ , \ (n+1) \ , \ (n+2) \ , \ (n+3) \end{align*}

は連続する $5$ つの整数であるので、この中には $5$ の倍数が含まれる。

よって

\begin{align*} \quad \left(n-1 \right) \ n \ \left(n+1 \right) \left(n+2 \right) \left(n+3 \right) \end{align*}

は $5$ の倍数である。

また

\begin{align*} \quad 5\left(n-1 \right) n \left( n+1 \right)^2 \end{align*}

は $5$ を因数にもつので $5$ の倍数である。

よって

\begin{align*} \quad \left(n-1 \right) n\left(n+1 \right) \left(n+2 \right) \left(n+3 \right) -5\left(n-1 \right) n \left( n+1 \right)^2 \end{align*}

は、$5$ の倍数である。

これと $(1) \ , \ (2)$ より

\begin{align*} \quad \left(n-1 \right) n \left(n+1 \right) \left(n+2 \right) \left(n+3 \right) -5\left(n-1 \right) n \left( n+1 \right)^2 \end{align*}

は $8$ かつ $3$ かつ $5$ の倍数、すなわち $120$ の倍数となる。

したがって、$n$ が奇数であるとき、$n^5-n$ は $120$ の倍数である。

例題(3)の別解例２

\begin{align*} \quad n^5-n = \left(n-1 \right) n \left(n+1 \right) \left(n^2+1 \right) \end{align*}

$(1) \ , \ (2)$ より、$n$ が奇数であるとき、$n^5-n$ は $8$ かつ $3$ の倍数である。

\begin{align*} \quad 120 = 2^3 \times 3 \times 5 \end{align*}

であるので、$n$ が奇数であるとき、$n^5-n$ は $5$ の倍数であることを示せばよい。

$n$ を $5$ で割ったときの余りに着目すると

\begin{align*} &\quad n=5k \ , \ 5k+1 \ , \ 5k+2\ , \ 5k+3 \ , \ 5k+4 \\[ 7pt ] &\quad \text{（$k$ は整数）} \end{align*}

とおける。

$(i) \ n=5k$ のとき

\begin{align*} \quad n=5k \end{align*}

より、$n^5-n$ は $5$ の倍数である。

$(ii) \ n=5k+1$ のとき

\begin{align*} \quad n-1＝5k \end{align*}

より、$n^5-n$ は $5$ の倍数である。

$(iii) \ n=5k+2$ のとき

\begin{align*} \quad n^2+1= \left(5k+2 \right)^2+1 = 5 \left(5k^2 + 4k + 1 \right) \end{align*}

より、$n^5-n$ は $5$ の倍数である。

$(iv) \ n=5k+3$ のとき

\begin{align*} \quad n^2+1＝ \left(5k+3 \right)^2+1 = 5 \left(5k^2+6k+2 \right) \end{align*}

より、$n^5-n$ は $5$ の倍数である。

$(v) \ n=5k+4$ のとき

\begin{align*} \quad n+1=5\left(k+1 \right) \end{align*}

より、$n^5-n$ は $5$ の倍数である。

$(i)$ ～ $(v)$ より、$n$ が奇数であるとき、$n^5-n$ は $5$ の倍数である。

したがって、$n^5-n$ は $8$ かつ $3$ かつ $5$ の倍数、すなわち $120$ の倍数である。

例題(3)の別解例３

$(1) \ , \ (2)$ より、$n$ が奇数であるとき、$n^5-n$ は $8$ かつ $3$ の倍数である。

\begin{align*} \quad 120 = 2^3 \times 3 \times 5 \end{align*}

であるので、$n$ が奇数であるとき、$n^5-n$ は $5$ の倍数であることを示せばよい。

$n$ を $5$ で割ったときの余りは

\begin{align*} \quad 0 \ , \ 1 \ , \ 2 \ , \ 3 \ , \ 4 \end{align*}

のいずれかになる。

$(i) \ n$ を $5$ で割ったときの余りが $0$ であるとき

$\quad n^5$ を $5$ で割ったときの余りは $0$

$(ii) \ n$ を $5$ で割ったときの余りが $1$ であるとき

$\quad n^5$ を $5$ で割ったときの余りは $1$$

$(iii) \ n$ を $5$ で割ったときの余りが $2$ であるとき

$\quad n^5$ を $5$ で割ったときの余りは $2$

$(iv) \ n$ を $5$ で割ったときの余りが $3$ であるとき

$\quad n^5$ を $5$ で割ったときの余りは $3$

$(v) \ n$ を $5$ で割ったときの余りが $4$ であるとき

$\quad n^5$ を $5$ で割ったときの余りは $4$

$(i)$ ～ $(v)$ より、$n$ を $5$ で割ったときの余りと $n^5$ を $5$ で割ったときの余りは等しくなるので、$n^5-n$ を $5$ で割ったときの余りは $0$ となる。

よって、$n$ が奇数であるとき、$n^5-n$ は $5$ の倍数である。

したがって、$n^5-n$ は $8$ かつ $3$ かつ $5$ の倍数、すなわち $120$ の倍数である。