確率|事象と確率について

05/20/2017数学A確率,事象,試行

確率

確率を扱った問題を解いてみよう

次の問題を考えてみましょう。

確率を扱った問題

第1問の解答・解説

第1問(i)
2個のサイコロを投げるとき、次の確率を求めよ。
(i) 目の和が4になる確率

第1問は、2個のサイコロを使った問題です。2個のサイコロの目を区別します。このとき、2個のサイコロの出目は同じ程度に期待できます。この36通りの出目を根元事象に定めて場合の数を数え上げます。

2個のサイコロを区別した場合、目の出方は全部で $6 \times 6 = 36$ 通りです。これが起こりうるすべての場合の数になります。

第1問(i)では、目の和が4になる事象が起こる場合の数を数え上げる必要があります。目の和を表にまとめます。

第1問(i)の解答例
出目の和
\begin{array}{c|cccccc}
{\tiny \text{サA}} \ \backslash \ {\tiny \text{サB}} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\
2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\
3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\
4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\
5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\
6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12
\end{array}

目の和が4になる事象は、3通りの出目があるので根元事象ではないことに注意しましょう。以上のことから公式を使って確率を求めます。

第1問(i)の解答例
\begin{equation*}
\frac{3}{36} = \frac{1}{12}
\end{equation*}
第1問(ii)
2個のサイコロを投げるとき、次の確率を求めよ。
(ii) 目の差が4になる確率

第1問(ii)では、目の和が4になる事象が起こる場合の数を数え上げる必要があります。目の差を表にまとめます。

第1問(ii)の解答例
出目の差
\begin{array}{c|cccccc}
{\tiny \text{サA}} \ \backslash \ {\tiny \text{サB}} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
2 & 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\
4 & 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2 \\
5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 0 & 1 \\
6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 0
\end{array}

目の差が4になる事象も、4通りの出目があるので根元事象ではありません。以上のことから公式を使って確率を求めます。

第1問(ii)の解答例
\begin{equation*}
\frac{4}{36} = \frac{1}{9}
\end{equation*}

解答例は以下のようになります。

確率を扱った問題第1問の解答例

第2問の解答・解説

第2問
赤玉2個と白玉4個が入っている袋から、3個の玉を取り出すとき、
赤玉1個と白玉2個を取り出す確率を求めよ。

同じ色の玉であっても区別して扱います。6個の玉を区別し、どの玉を引くのかに注目することによって、それぞれの玉を引く事象が同じ程度に起こると期待できます。

玉の組合せを考えれば良いので、異なる6個から3個を取り出すときの組合せを考えます。起こりうるすべての場合の数は ${}_6 \mathrm{ C }_3$ 通りです。

また、赤玉1個と白玉2個を取り出し方は、赤玉1個の取り出し方 ${}_2 \mathrm{ C }_1$ 通りのそれぞれについて、白玉2個の取り出し方が ${}_4 \mathrm{ C }_2$ 通りずつあります。ですから、その総数は、${}_2 \mathrm{ C }_1 \times {}_4 \mathrm{ C }_2$ 通りです。

以上のことから公式を使って確率を求めます。

第2問の解答例
\begin{equation*}
\frac{{}_2 \mathrm{ C }_1 \times {}_4 \mathrm{ C }_2}{{}_6 \mathrm{ C }_3} = \frac{2}{1} \cdot \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} \cdot \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{6 \cdot 5 \cdot 4}
\end{equation*}

解答例は以下のようになります。

確率を扱った問題第2問の解答例

ここで扱った問題は根元事象を定めやすい題材でしたが、問題によっては分かりにくい場合があります。問題の但し書きに注意して、根元事象をしっかりと見極めましょう。

Recommended books

単元ごとに得意・不得意がある場合、短期間で学習できる教材があると便利です。

オススメその1-『これならわかる! 図解 場合の数と確率

図が豊富で丁寧に解説されています。また、多くの例題を扱っています。重複なく、漏れがないように数えるための考え方、数え方の基本をマスターできる教材です。

以下、2冊は短期間で学習するのに適した問題集です。

オススメその2-『SPEED攻略10日間 数学 場合の数と確率

Z会の教材は難しいというイメージがありますが、この教材は基本レベルから扱っています。例題・類題・入試問題を繰り返し演習する構成になっており、典型問題の考え方や解き方を理解し、身につけることができます。

オススメその3-『大学入試10日で極める場合の数と確率 (理系のための分野別問題集)

出版年月日が非常に新しく、理系の人向けの教材です。短期間で、基礎から難関大突破レベルまで効率的に学習できます。主要大学の入試において、近年出題率の高い分野の問題が掲載されています。また、補充問題も充実しているので、これ1冊で演習量もカバーできます。

さいごに、もう一度、頭の中を整理しよう

  • 単元の導入部分で用語とその定義をしっかり覚えよう。
  • 試行は実験、事象は実験の結果。
  • 根元事象は1つの要素(1つの結果)をもつ部分集合。
  • 根元事象は同じ程度に起こると期待できるように決めよう。
  • 根元事象の数を数え上げよう。
  • サイコロやカードを区別して考えよう。