図形の性質｜内心について

11/13/2021数学Ａ

内心を扱った問題を解いてみよう

次の問題を考えてみましょう。

問(1)の解答・解説

問(1)

図において、点 $I$ は$\triangle ABC$ の内心である。このとき、次の問に答えよ。

角 $x$

問(1)は、角ｘ（＝∠ＢＩＣ）を求める問題です。点Ｉは△ＡＢＣの内心であることに注意しましょう。

三角形の頂点Ａ，Ｂ，Ｃと内心Ｉをそれぞれ結んだ線分は、角の二等分線です。与えられた図で言えば、線分ＢＩ，ＣＩが角の二等分線になります。また、大きさが同じ角には記号を入れておきましょう。

作図の結果から、△ＩＢＣに注目すると、∠ＣＢＩと∠ＢＣＩの大きさが分かります。△ＩＢＣにおいて、三角形の内角の和を利用します。

問(1)の解答例

線分 $BI \ , \ CI$ は内角の二等分線より

\begin{align*} &\quad \angle {ABI} = \angle {CBI} = 30^{\circ} \\[ 7pt ] &\quad \angle {ACI} = \angle {BCI} = 20^{\circ} \end{align*}

三角形の内角の和より

\begin{align*} \quad \angle {BIC} = 180^{\circ} – \left\{\angle {CBI} + \angle {BCI} \right\} \end{align*}

これを解くと

\begin{align*} \quad x = 130^{\circ} \end{align*}

問(1)のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。

基礎レベルの問題なのでかなり易しく感じるでしょうが、手抜きせずにしっかり作図しましょう。

このレベルの問題を解く意義は主に２つあります。

１つは、性質や公式に慣れることです。もう１つは、問題を解くときの基本作業や思考プロセスを習慣化することです。

問(2)の解答・解説

問(2)

図において、点 $I$ は$\triangle ABC$ の内心である。このとき、次の問に答えよ。

$AI:ID$

問(2)は線分の比ＡＩ：ＩＤを求める問題です。大きさの等しい角に記号を書き込むのはもちろんですが、線分の比も図に書き込みます。

角の二等分線と比の関係を利用すれば良いことは分かりますが、関係を利用しただけでは簡単に解けません。段階を踏まないと解けない問題です。

ＡＩ：ＩＤを求めるには、ＢＡ：ＢＤが必要です。ただし、線分ＢＤの長さが分からないので、線分ＢＤの長さを求めることから始めます。

∠ＢＡＣの二等分線に注目します。角の二等分線と比の関係から、ＢＤ：ＤＣを求めることができます。これを利用して、線分ＢＤの長さを求めます。

問(2)の解答例 1⃣

$\angle {BAC}$ の二等分線より

\begin{align*} &\quad BD:DC = AB:AC \\[ 7pt ] &\quad BD:DC = 6:4 = 3:2 \end{align*}

$BD:DC=3:2$ より

\begin{align*} \quad BD:BC = 3:5 \end{align*}

よって

\begin{align*} \quad BD = \frac{3}{5} BC \end{align*}

$BC=5$ より

\begin{align*} \quad BD = 3 \end{align*}

線分ＢＤの長さが分かったので、∠ＡＢＣの二等分線ＢＩに注目します。角の二等分線と比の関係を利用します。

問(2)の解答例 2⃣

\begin{align*} &\vdots \\[ 7pt ] \quad BD &= 3 \end{align*}

$\angle {ABC}$ の二等分線より

\begin{align*} \quad BA:BD = AI:ID \end{align*}

ここで

\begin{align*} &\quad BA=6 \\[ 7pt ] &\quad BD=3 \end{align*}

より

\begin{align*} \quad AI:ID=6:3 \end{align*}

すなわち

\begin{align*} \quad AI:ID=2:1 \end{align*}

問(2)のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。

問(2)のように、解くためにいくつかの段階が必要な問題は、差のつく問題です。入試レベルでは合否に関わります。

このような問題を解くには、問題で要求されていることから逆算することがコツです。

たとえば「与えられた情報のうち、求めたい解と関係するのはどれか」や「どんな情報があれば、解に至るか」などのように、解の方から逆算して考えます。

逆算して解法を考えるという思考は、数学ではよくある思考です。特に、証明問題や初見の問題では非常に有効です。

逆算の思考は、訓練すれば誰でも身に付けることができます。最短ルートの解法を思いつく手段になるので、身に付けておきましょう。

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