図形の性質｜重心について

11/13/2021数学Ａ

重心を扱った問題を解いてみよう

次の問題を考えてみましょう。

問１の解答・解説

問１

図において、点 $G$ は $\triangle {ABC}$ の重心である。辺 $AB$ 上に点 $P$ をとるとき、 $\triangle {BPG}$ と $\triangle {BPM}$ の面積比を求めよ。

問１では、△ＢＰＧと△ＢＰＭの面積比を求めます。

△ＢＰＧと△ＢＰＭにおいて、底辺をそれぞれＢＧ，ＢＭとすると、頂点Ｐから下した垂線の長さが高さとなります。ですから、△ＢＰＧと△ＢＰＭは高さが等しい三角形となります。

このことに気付けば、（面積比）＝（底辺の比）を利用する方針が思い浮かぶでしょう。この関係から、△ＢＰＧと△ＢＰＭの面積比を求めるには、線分ＢＧと線分ＢＭの比を考えれば良いことが分かります。

一般に、１つの三角形を２つの三角形に分割した図形の場合、高さが等しくなる。高さが等しければ（面積比）＝（底辺比）を利用できる。

線分ＢＭは重心Ｇを通るので中線です。重心の性質から、重心Ｇは線分ＢＭを２：１に内分します。この内分比を利用すれば、ＢＧとＢＭの比を求めることができます。

問１の解答例 1⃣

$\triangle {BPG}$ と $\triangle {BPM}$ の高さはともに等しいので

$\begin{align*} \quad \triangle {BPG} : \triangle {BPM} = BG: BM \end{align*}$

が成り立つ。

ここで

$\begin{align*} \quad BG : GM = 2:1 \end{align*}$

より

$\begin{align*} \quad BG : BM = 2 : 3 \end{align*}$

底辺の比が面積比に等しいので、得られた比が面積比となります。

問１の解答例 2⃣

$\begin{align*} &\vdots \\[ 7pt ] \quad BG &: BM = 2 : 3 \end{align*}$

したがって

$\begin{align*} \quad \triangle {BPG} : \triangle {BPM} = 2: 3 \end{align*}$

問１のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。

問２の解答・解説

問２

平行四辺形 $ABCD$ について、 $\triangle {ABC}$ の重心 $G$ と $\triangle {ADC}$ の重心 $G’$ は線分 $BD$ 上にあることを示せ。また、 $BD:GG’$ を求めよ。

問２では、２つの重心が同一線分上にあることを証明します。また、線分の比を求めます。

まず、△ＡＢＣの重心Ｇと△ＡＤＣの重心Ｇ’が線分ＢＤ上にあることを証明します。

重心を通る線分を考えてみると、そのような線分は中線以外に思いつきません。

２つの重心が線分ＢＤ上にあるということは、重心を通る中線も線分ＢＤ上にあるということです。

言い換えれば、中線が線分ＢＤに重なるということです。このことを示せないかを考えましょう。

図のように、平行四辺形の２つの対角線の交点をＯとおきます。平行四辺形の対角線ＡＣ，ＢＤは互いに他を二等分するという性質をもちます。

平行四辺形の対角線の性質

$2$ 本の対角線は互いに他を二等分するので

$\begin{align*} \quad OA = OC \ , \ OB = OD \end{align*}$

（※図の平行四辺形を参照）

この対角線の性質から、点Ｏは線分ＡＣの中点になります。このとき、線分ＯＢは△ＡＢＣにおける中線になり、線分ＯＤは△ＡＤＣにおける中線になります。

線分ＯＢが中線であれば、△ＡＢＣにおいて重心Ｇは線分ＯＢ上にあると言えます。

同様に、線分ＯＤが中線であれば、△ＡＤＣにおいて重心Ｇ’は線分ＯＤ上にあると言えます。

さいごに、線分ＯＢ，ＯＤはともに線分ＢＤの一部であるので、重心Ｇ，Ｇ’は線分ＢＤ上にあることが示せます。

次に、ＢＤ：ＧＧ’を求めます。重心による中線の内分比を書き込めばすぐに分かります。

ここでは、ＯＢ＝ＯＤに注目して求めています。後述する記述例とは異なりますが、こんな答案もあることを知っておくと良いでしょう。

問２の解答例

$2$ 点 $G \ , \ G’$ は重心であるので

$\begin{align*} \quad BG : GO = DG’ : G’O = 2:1 \end{align*}$

$OB = OD$ より

$\begin{align*} \quad BG = DG’ \ , \ GO = G’O \end{align*}$

よって

$\begin{align*} \quad BD : GG’ = \left(OB + OD \right) : \left(GO + G’O \right) \end{align*}$

また、 $OB : GO = OD : G’O = 3 : 1$ より

$\begin{align*} \quad OB = 3GO \ , \ OD = 3G’O \end{align*}$

よって

$\begin{align*} \quad BD : GG’ &= \left(3GO + 3G’O \right) : \left(GO + G’O \right) \\[ 7pt ] &= 3\left(GO + G’O \right) : \left(GO + G’O \right) \end{align*}$

したがって

$\begin{align*} \quad BD : GG’ = 3 : 1 \end{align*}$

線分の比を求めること自体はそれほど難しくありません。しかし、比を求める過程を記述するのは意外と難しいです。図形を扱った証明問題を多くこなしておいた方が良いでしょう。

問２のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。

図形の証明問題では、図形の定義や性質を上手に利用する必要があります。図形の定義や性質をしっかり覚えておきましょう。

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さいごに、もう一度、頭の中を整理しよう

中線は三角形の頂点と対辺の中点とを結ぶ線分。
重心は三角形の３本の中線の交点。
重心は中線を頂点の方から２：１に内分する。
重心を頂点にもつ３つの三角形は、面積が等しい。

数学Ａ図形の性質,重心,中線

Posted by kiri

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