図形の性質｜メネラウスの定理、チェバの定理について

01/23/2023数学Ａ

メネラウスの定理やチェバの定理を扱った問題を解いてみよう

次の問題を考えてみましょう。

問１の解答・解説

問１は、２つの線分ＡＲ，ＲＣの比ＡＲ：ＲＣを求める問題です。

与えられた図から、矢じりのような図形であることが分かるので、メネラウスの定理を利用できそうです。

三角形の頂点をＡ，Ｂ，Ｃとすると、点Ｐ，Ｒが内分点で、点Ｑが外分点です。

頂点Ａからスタートして再び戻ってくるように立式します。

立式で間違えないように、図に矢印を書き込んでおき、それを辿りながら立式すると良いでしょう。ちょっとしたことですが、些細なミスを減らせます。

問１の解答例 1⃣

メネラウスの定理より

\begin{align*} \quad \frac{AP}{PB} \cdot \frac{BQ}{QC} \cdot \frac{CR}{RA} = 1 \end{align*}

これを変形して

\begin{align*} \quad \frac{CR}{RA} = \frac{PB}{AP} \cdot \frac{QC}{BQ} \end{align*}

線分の長さを代入して整理すると、２つの線分ＡＲ，ＲＣの比の値ＲＣ/ＡＲが分かります。

比の値から比例式に戻せば、ＡＲ：ＲＣを求めことができます。

問１の解答例 2⃣

\begin{align*} &\vdots \\[ 7pt ] \quad \frac{CR}{RA} &= \frac{PB}{AP} \cdot \frac{QC}{BQ} \end{align*}

ここで

\begin{align*} \quad PB &= 5 \\[ 7pt ] AP &= 3 \\[ 7pt ] QC &= 2 \\[ 7pt ] BQ &= 5 \end{align*}

より

\begin{align*} \quad \frac{CR}{RA} = \frac{5}{3} \cdot \frac{2}{5} \end{align*}

よって

\begin{align*} \quad \frac{CR}{RA} = \frac{2}{3} \end{align*}

したがって

\begin{align*} \quad AR:RC=3:2 \end{align*}

立式ができれば特に難しいことはありません。問１のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。

問２の解答・解説

問２は、２つの線分ＢＱ，ＱＣの比ＢＱ：ＱＣを求める問題です。

内部の点Ｏと頂点を通る直線ＡＯ，ＢＯ，ＣＯが引かれているので、チェバの定理を利用できそうです。

三角形の頂点をＡ，Ｂ，Ｃとすると、点Ｐ，Ｑ．Ｒが内分点です。

頂点Ａからスタートして再び戻ってくるように立式します。

問２の解答例 1⃣

チェバの定理より

\begin{align*} \quad \frac{AP}{PB} \cdot \frac{BQ}{QC} \cdot \frac{CR}{RA} = 1 \end{align*}

これを変形して

\begin{align*} \quad \frac{BQ}{QC} = \frac{PB}{AP} \cdot \frac{RA}{CR} \end{align*}

線分の長さを代入して整理すると、線分ＢＱ，ＱＣの比の値ＢＱ/ＱＣが分かります。

比の値から比例式に戻せば、ＢＱ：ＱＣを求めことができます。

問２の解答例 2⃣

\begin{align*} &\vdots \\[ 7pt ] \quad \frac{BQ}{QC} &= \frac{PB}{AP} \cdot \frac{RA}{CR} \end{align*}

ここで

\begin{align*} \quad PB &= 5 \\[ 7pt ] AP &= 6 \\[ 7pt ] RA &= 3 \\[ 7pt ] CR &= 5 \end{align*}

より

\begin{align*} \quad \frac{BQ}{QC} = \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{5} \end{align*}

よって

\begin{align*} \quad \frac{BQ}{QC} = \frac{1}{2} \end{align*}

したがって

\begin{align*} \quad BQ:QC=1:2 \end{align*}

チェバの方が立式しやすいかもしれません。こちらも特に難しいことはありません。問２のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。

どちらの問題も基礎レベルなので、複雑な図形でもきちんと使いこなせるようにしておきたいところです。

ちなみに、これらの定理を利用する問題がベクトルの単元（数学Ｂ）でも出されるので、即戦力の状態にしておきましょう。

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