図形の性質|方べきの定理について

05/20/2017数学A図形の性質,接弦定理,方べきの定理,円周角の定理の逆

数学A 図形の性質

方べきの定理の逆の証明

方べきの定理の逆が成り立つには、いずれかの条件を満たす必要がありました。

  • 2つの線分AB , CD、またはそれぞれの延長の交点をPとするとき、$PA \cdot PB = CP \cdot PD$ が成り立つ。
  • 円の外部の点Pを通る直線が円と2点A , Bで交わるとき、円周上の点Tについて、$PA \cdot PB = PT^{2}$ が成り立つ。

それぞれの条件を満たすとき、方べきの定理の逆が成り立つことを証明してみましょう。

方べきの定理の逆の証明その1

「2つの線分AB , CD、またはそれぞれの延長の交点をPとするとき、$PA \cdot PB = CP \cdot PD$ が成り立つならば、4点A , B , C , Dが同一円周上にある」ことを証明します。

方べきの定理の逆の図1

2つの線分AB , CDが交わって交点Pができるときの図が図1です。また、2つの線分AB , CDの延長線が交わって交点Pができるときの図が図2です。それぞれの図で、AとC、BとDを結んで△PACと△PDBを作ります。

$PA \cdot PB = CP \cdot PD$ が成り立つので、この式を比例式に戻します。

\begin{align*}
\quad PA \cdot PB &= PC \cdot PD \\[ 5pt ]
\quad \frac{PA}{PD} &= \frac{PC}{PB} \\[ 5pt ]
\quad PA:PD &= PC:PB
\end{align*}

積の形から比の値へと変形し、最後に比例式を導出しています。比例式をじかに導出できる場合は比の値を省略しても構いません。

この比例式から、図1,2の△PACと△PDBにおいて、2組の辺の比が等しいことが分かります。これに加え、 $\angle APC = \angle DPB$ (対頂角または共通角)が成り立ちます。

以上のことから、三角形の相似条件を満たすことが分かり、図1,2において、$\triangle PAC \backsim \triangle PDB$ であることが分かります。

$\triangle PAC \backsim \triangle PDB$ を利用して、対応する角の関係を導きます。

方べきの定理の逆の図その1

図1において、対応する角の関係から、$\angle ACP = \angle DBP \ (\angle ACD = \angle ABD)$ となります。これより、2点B , Cが直線ADの同じ側にあって、$\angle ACD = \angle ABD$ です。円周角の定理の逆が成り立つので、4点A , B , C , Dが同一円周上にあることが分かります。

方べきの定理の逆の図その2

また、図2において、対応する角の関係から、$\angle ACP = \angle ABD$ となります。これより、四角形ABCDにおいて、1つの内角とその対角の外角が等しくなります。円に内接する四角形の条件が成り立つので、4点A , B , C , Dが同一円周上にあることが分かります。

証明の例は以下のようになります。

方べきの定理の逆の証明その1

方べきの定理の逆の証明その2

「円の外部の点Pを通る直線が円と2点A , Bで交わるとき、円周上の点Tについて、$PA \cdot PB = PT^{2}$ が成り立つならば、直線PTは円の接線である」ことを証明します。

方べきの定理の逆の図2

$PA \cdot PB = PT^{2}$ が成り立つので、この式を比例式に戻します。

\begin{align*}
\quad PA \cdot PB &= PT^{2} \\[ 5pt ]
\quad \frac{PA}{PT} &= \frac{PT}{PB} \\[ 5pt ]
\quad PA:PT &= PT:PB
\end{align*}

この比例式から、△PATと△PTBにおいて、2組の辺の比が等しいことが分かります。これに加え、図3において、 $\angle APT = \angle TPB$ (共通角)が成り立ちます。

以上のことから、三角形の相似条件を満たすことが分かり、$\triangle PAT \backsim \triangle PTB$ であることが分かります。

$\triangle PAT \backsim \triangle PTB$ を利用して、対応する角の関係を導きます。

方べきの定理の逆の図2

図3において、対応する角の関係から、$\angle ATP = \angle TBP$ となります。これより、接弦定理の逆が成り立つので、直線PTは円に接することが分かります。

記載されていない教科書があるかもしれませんが、接弦定理の逆は成り立ちます。

参考 接弦定理の逆

円Oの弧ABと半直線TAが直線ABに関して同じ側にあって、弧ABに対する円周角∠ACBが∠BATに等しいとき、直線ATは点Aで円Oに接する。

接弦定理

証明の例は以下のようになります。

方べきの定理の逆の証明その2

定理やその逆の証明では、既習内容を上手に活用できることが大切だと分かります。復習の題材としても最適で、しっかりこなすと非常に力が付きます。

次は方べきの定理やその逆を扱った問題を実際に解いていましょう。