図形の性質|方べきの定理について

数学A

数学A 図形の性質

方べきの定理の逆の証明

方べきの定理の逆が成り立つには、いずれかの条件を満たす必要がありました。

方べきの定理の逆が成り立つための条件

  • 2つの線分AB,CD、またはそれぞれの延長の交点をPとするとき、PA・PB=PC・PD(①式)が成り立つ。
  • 円の外部の点Pを通る直線が円と2点A,Bで交わるとき、円周上の点Tについて、PA・PB=PT2(②式)が成り立つ。

それぞれの条件を満たすとき、方べきの定理の逆が成り立つことを証明してみましょう。

方べきの定理の逆の証明(パターン①,②)

「2つの線分AB,CD、またはそれぞれの延長の交点をPとするとき、PA・PB=PC・PD(①式)が成り立つならば、4点A,B,C,Dが同一円周上にある」ことを証明します。

図1は、2つの線分AB,CDが円の内部で交わって交点Pができるときの図です(パターン①)。

また、図2は、2つの線分AB,CDの延長線が円の外部で交わって交点Pができるときの図です(パターン②)。

それぞれの図で、AとC、BとDを結んで△PACと△PDBを作ります。

方べきの定理の逆の図1
方べきの定理の逆の証明(パターン①,②)

PA・PB=PC・PDが成り立つので、この式を比例式に戻します。

方べきの定理の式から比例式へ

\begin{align*} \quad PA \cdot PB = PC \cdot PD \end{align*}

が成り立つので、これを変形して

\begin{align*} \quad \frac{PA}{PD} = \frac{PC}{PB} \end{align*}

よって

\begin{align*} \quad PA:PD = PC:PB \end{align*}

積の形から比の値へと変形し、最後に比例式を導出しています。比例式をじかに導出できる場合、比の値を省略しても構いません。

この比例式から、図1,2の△PACと△PDBにおいて、2組の辺の比が等しいことが分かります。これに加え、∠APC=∠DPB(対頂角または共通角)が成り立ちます。

以上のことから、三角形の相似条件を満たすことが分かり、図1,2において、△PAC∽△PDBであることが分かります。

△PACと△PDBが相似な図形であることを利用して、対応する角の関係を導きます。

図1において、対応する角の関係から、∠ACP=∠DBP(∠ACD=∠ABD)となります。これより、2点B,Cが直線ADの同じ側にあって、∠ACD=∠ABDです。

円周角の定理の逆が成り立つので、4点A,B,C,Dが同一円周上にあることが分かります。

方べきの定理の逆の図その1
方べきの定理の逆の証明(パターン①)

また、図2において、対応する角の関係から、∠ACP=∠ABDとなります。これより、四角形ABCDにおいて、1つの内角とその対角の外角が等しくなります。

円に内接する四角形の条件が成り立つので、4点A,B,C,Dが同一円周上にあることが分かります。

方べきの定理の逆の図その2
方べきの定理の逆の証明(パターン②)

方べきの定理の逆の証明(パターン①,②)をまとめると以下のようになります。

方べきの定理の逆の証明その1
方べきの定理の逆の証明(パターン①,②)

方べきの定理の逆の証明(パターン③)

「円の外部の点Pを通る直線が円と2点A,Bで交わるとき、円周上の点Tについて、PA・PB=PT2(②式)が成り立つならば、直線PTは円の接線である」ことを証明します。

図3は、弦の延長線と接線が円の外部で交わる図です(パターン③)。

AとT、BとTを結んで△PATと△PTBを作ります。

方べきの定理の逆の図2
方べきの定理の逆の証明(パターン③)

PA・PB=PT2が成り立つので、この式を比例式に戻します。

方べきの定理の式から比例式へ

\begin{align*} \quad PA \cdot PB = {PT}^2 \end{align*}

が成り立つので、これを変形して

\begin{align*} \quad \frac{PA}{PT} = \frac{PT}{PB} \end{align*}

よって

\begin{align*} \quad PA:PT = PT:PB \end{align*}

この比例式から、△PATと△PTBにおいて、2組の辺の比が等しいことが分かります。これに加え、図3において、∠APT=∠TPB(共通角)が成り立ちます。

以上のことから、三角形の相似条件を満たすことが分かり、△PAT∽△PTBであることが分かります。

△PATと△PTBが相似な三角形であることを利用して、対応する角の関係を導きます。

図3において、対応する角の関係から、∠ATP=∠TBPとなります。

これより、接弦定理の逆が成り立つので、直線PTは円に接することが分かります。

方べきの定理の逆の図2
方べきの定理の逆の証明(パターン③)

記載されていない教科書があるかもしれませんが、接弦定理の逆は成り立ちます。

参考:接弦定理の逆

円Oの弧ABと半直線TAが直線ABに関して同じ側にあって、弧ABに対する円周角∠ACBが∠BATに等しいとき、直線ATは点Aで円Oに接する。

接弦定理
接弦定理の逆

方べきの定理の逆の証明(パターン③)をまとめると以下のようになります。

方べきの定理の逆の証明その2
方べきの定理の逆の証明(パターン③)

定理やその逆の証明では、既習内容を上手に活用できることが大切だと分かります。復習の題材としても最適で、しっかりこなすと非常に力が付きます。

次は方べきの定理やその逆を扱った問題を実際に解いていましょう。