図形の性質|方べきの定理について

05/20/2017数学A図形の性質,接弦定理,方べきの定理,円周角の定理の逆

数学A 図形の性質

方べきの定理やその逆を扱った問題を解いてみよう

次の問題を考えてみましょう。

方べきの定理やその逆を扱った問題

問題で図示されている図形を見て、方べきの定理を利用できそうだと気付くのがポイントです。ここで注意したいのは、方べきの定理を利用するには、円の中心Oではなく、2本の弦の交点Pに注目することです。

問(1)の解答・解説

問(1)
点Oを中心とする半径3の円の内部の点Pを通る弦ABについて、$PA \cdot PB = 5$ であるとき、
(1) 2点O , Pを通る弦CDについて、$OP=x$ とするとき、PCとPDを $x$ を用いて表せ。

問(1)は、線分PC , PDの長さを $OP = x$ で表す問題です。問(2)を解くための準備だと思って、速やかに解いてしまいましょう。

文字式の扱いに不安がある場合、いきなり $x$ を用いるのではなく、解答例のように、線分を使って立式してから $x$ を代入すると良いでしょう。また、長さを書き込んだ図を見ながら立式することでもケアレスミスを防げるでしょう。

問(1)の解答例
\begin{align*}
&\quad OC = OD = 3 \\[ 5pt ]
&\quad PC = OC – OP \\[ 5pt ]
&\quad PD = OD + OP
\end{align*}

方べきの定理やその逆を扱った問題問1の図

OPを $x$ に置き換えれば、PCとPDを $x$ を用いて表せます。解答例の続きは以下のようになります。

方べきの定理やその逆を扱った問題問1の解答例

問(1)を解いたら、図に線分PC , PDの長さを書き込んでおきます。

問(2)の解答・解説

問(2)
点Oを中心とする半径3の円の内部の点Pを通る弦ABについて、$PA \cdot PB = 5$ であるとき、
(2) 線分OPの長さを求めよ。

問(2)は、線分OPの長さを求める問題です。与えられた等式 $PA \cdot PB = 5$ と問(1)の結果を利用します。

ここでは $x$ の値が分かれば良いので、「$x$ についての方程式を導出できないか」と考えるのがこの問題のポイントです。すでに等式が与えられているので、この等式を上手に使います。

図形の問題で $PA \cdot PB$ などのような線分の積が出てくれば、ほぼ方べきの定理で間違いありません。実際に方べきの定理を利用して立式してみると、式の左辺が等式の左辺と同じになります。このことを利用して $x$ についての方程式を導出することができます。

問(2)の解答例
\begin{align*}
&\text{方べきの定理より、} \\[ 5pt ]
&\quad PA \cdot PB = PC \cdot PD \\[ 5pt ]
&\text{ここで} \\[ 5pt ]
&\quad PA \cdot PB = 5 \\[ 5pt ]
&\text{であるので、} \\[ 5pt ]
&\quad PC \cdot PD = 5 \\[ 5pt ]
&\text{これと問(1)より、} \\[ 5pt ]
&\quad (3-x) (3+x) = 5 \\[ 5pt ]
\end{align*}

方べきの定理やその逆を扱った問題問2の図

$x$ についての2次方程式を導出することができました。これを解けば $x$ の値を求めることができます。解答例の続きは以下のようになります。

方べきの定理やその逆を扱った問題問2の解答例

よく間違えるのは、弦の交点ではなく円の中心に注目してしまうことです。方べきの定理が成り立つときの図形の条件をしっかり覚えましょう。

線分の積が出てきたら、方べきの定理を使ってみよう。
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さいごに、もう一度、頭の中を整理しよう

  • 方べきの定理は、4つ(または3つ)の線分の長さの関係を表わす。
  • 方べきの定理の式は、相似な三角形において対応する辺の比から導出される。
  • 方べきの定理が成り立つときの図形は3パターン。
  • 3パターンのうち、接線を使ったものは要注意。